Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

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In der klassischen Physik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert. Da in der speziellen Relativitätstheorie gegeneinander bewegte Inertialsysteme durch Lorentztransformationen miteinander zusammenhängen, werden hier zwei Geschwindigkeiten anders als in der klassischen Physik zur Gesamtgeschwindigkeit zusammengesetzt.

Definition[Bearbeiten]

Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindigkeiten u_x' und v,
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit c (Erläuterungen s. Artikeltext).
Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindigkeit u_x , ebenfalls normiert auf c
(Abstufung geändert für \tfrac{u_x}{c} > 0,9).
Je größer die beiden Ausgangsgeschwindigkeiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab:
auch von der resultierenden Geschwindigkeit kann die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden.

Ein Beobachter \mathcal{B}^\prime bewege sich gegenüber dem Beobachter \mathcal{B} mit der Geschwindigkeit v in Richtung der x-Achse. Für den Beobachter \mathcal{B}^\prime bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u'  = (u^\prime_x, u^\prime_y, u^\prime_z) \, . Dann hat dieser Körper für den Beobachter \mathcal{B} die Geschwindigkeit u mit den Komponenten

u_x = \frac{u_x' + v}{1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}} \qquad \qquad \Leftrightarrow \frac{u_x}{c} = \frac{\dfrac{u_x'}{c} + \dfrac{v}{c}}{1 + \dfrac{u_x'}{c} \cdot \dfrac{v}{c}}
u_y = \frac{u_y' \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}{1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}} = u_y' \, \frac{1}{\gamma (1 + \frac{u_x' \, v}{c^2})}
u_z = \frac{u_z' \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}{1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}} = u_z' \, \frac{1}{\gamma (1 + \frac{u_x' \, v}{c^2})}

mit

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}.

Interpretation[Bearbeiten]

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

v \ll c \Leftrightarrow \frac{v}{c} \ll 1,

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

\Rightarrow 1 + \frac{u_x' \, v}{c^2} \approx 1, \qquad \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2} = \frac{1}{\gamma} \approx 1

und es ergibt sich in guter Näherung die übliche nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

\begin{align}
\Rightarrow u_x & \approx u_x' + v\\
            u_y & \approx u_y'\\
            u_z & \approx u_z'.
\end{align}

Beispiel: in einem mit v = 200 \mathrm{km/h} fahrenden Zug \mathcal{B}^\prime läuft eine Person mit u^\prime_x = 5 \mathrm{km/h} relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter \mathcal{B} gemessene Geschwindigkeit u_x der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen u^\prime_x + v = 205 \mathrm{km/h}. Zum Vergleich: der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde – was bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km sicher vernachlässigbar ist.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel, vgl. die folgenden Beispiele.

Folgerungen[Bearbeiten]

Als Folge des Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

1. Beispiel[Bearbeiten]

Es sei

v = 0{,} 75c, \quad u_x' = 0{,}75c

Dann ist

u_x = \frac{0{,}75c+0{,}75c}{1 + 0{,}75 \cdot 0{,}75} =  \frac{1{,}5c}{1{,}5625} = 0{,}96 c < c

und nicht etwa 1,5c.

2. Beispiel[Bearbeiten]

Ist die Geschwindigkeit u' für den Beobachter  \mathcal{B}^\prime gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter \mathcal{B}.

Ist zum Beispiel

u_x' = 0, \quad u_y' = c, \quad u_z' = 0

dann ist

u_x = v, \quad u_y = c \, \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2}, \quad u_z = 0,

also insbesondere

u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = v^2 + c^2\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) = c^2.

Herleitung[Bearbeiten]

Um das Formelbild einfach zu halten, verwenden wir als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurückgelegt, und nennen sie eine Lichtsekunde. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt c = 1. Untersuchungen in anderen Maßsystemen bringen keine tieferen Einsichten.

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von v durch -v)

 t =  \frac{t' + v\, x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad x =\frac{x' + v\,t'}{\sqrt{1 - v^2}} \ ,\quad y = y'\ ,\quad z = z'

folgt, da die Transformation linear ist, für die Differentiale

\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}t' + v\,\mathrm{d}x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad
\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\sqrt{1 -v^2}}\ ,\quad
\mathrm{d}y = \mathrm{d}y'\ ,\quad
\mathrm{d}z = \mathrm{d}z'\,.

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter \mathcal{B} ermittelt,

u_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =
\frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'}
= \frac{\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'} + v}
{1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}}
= \frac{u_x' + v}{1 + v\, u_x'}\ ,
u_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =
\frac{\mathrm{d}y'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'}
= \frac{\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}}
{1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}}
= \frac{u_y'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ ,
u_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} =
\frac{\mathrm{d}z'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'}
= \frac{\frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}}
{1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}}
= \frac{u_z'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ .

Umgekehrt gilt (Ersetzen von v durch -v, mit allen Faktoren c)

u_x'= \frac{u_x - v}{1 - \frac{v\, u_x}{c^{2}}}\ , \quad
u_y'= \frac{u_y\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{v\, u_x}{c^{2}}}\ , \quad
u_z'= \frac{u_z\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{v\, u_x}{c^{2}}}\ .

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien