Geschwindigkeit

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Physikalische Größe

Name

Geschwindigkeit⁽¹⁾

Formelzeichen der Größe

v, u, w, c⁽²⁾

Abgeleitet von

lat. velocitas

Größen- und Einheiten- system	Einheit	Dimension
SI	Meter pro Sekunde (m·s^-1)	L·T^-1
CGS	Zentimeter pro Sekunde (cm·s^-1)	L·T^-1
Planck	Lichtgeschwindigkeit (c)	c

Anmerkungen

⁽¹⁾ auch: Bahngeschwindigkeit, Tangentialgeschwindigkeit;
geschlossene Bahn: Umfangsgeschwindigkeit,
Kreis- und Ellipsenbahn: Orbital- oder Umlaufgeschwindigkeit

⁽²⁾ auch v_t, v_⊥, v_u uä.

Siehe auch: Winkelgeschwindigkeit,
Tangentialbeschleunigung

Unter der Geschwindigkeit (Formelzeichen: v, von lat. velocitas) eines Körpers versteht man die von ihm zurückgelegte Wegstrecke s pro Zeiteinheit t. Mathematisch entspricht die Geschwindigkeit der Ableitung des Ortes nach der Zeit.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Einheiten
3 Besondere Darstellungen
4 Spezialfälle
5 Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck
6 Geschichtliche Anmerkung
7 Siehe auch
8 Einzelnachweise
9 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Sprint in einem Fußballspiel

Die Definition der Geschwindigkeit als Zeitableitung des Ortes lässt sich in vier Schritten nachvollziehen;

Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit: $\bar v={x \over t}$
Durchschnittsgeschwindigkeit in einem bestimmten Abschnitt: $\bar v={\Delta x \over \Delta t}= { x_2-x_1 \over t_2-t_1 }$
Momentangeschwindigkeit (= differentielle Abschnittsgeschwindigkeit): $v={\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta x \over \Delta t}$
Eine Strecke hat immer eine Richtung und ist daher ein Vektor. Aus diesem Grunde ist auch die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe. Die exakte Definition lautet deshalb:

$\vec {v}={\mathrm{d}\vec {x} \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta \vec {x} \over \Delta t}$

Im Englischen wird (besonders unter Mathematikern und Physikern) gelegentlich zwischen velocity (vektorielle Geschwindigkeit) und speed (Betrag der Geschwindigkeit) unterschieden. Auch im deutschen Sprachraum wird teilweise dieser Unterschied gemacht: Für velocity (vektorielle Geschwindigkeit: $\vec {v}$ ) wird dann der Begriff Geschwindigkeit verwendet und für speed (Betrag der Geschwindigkeit: $v$ ) der Begriff Tempo oder Schnelligkeit.
Ein Beispiel: Auf einer Kreisbahn kann ein Auto eine konstante Schnelligkeit, aber nie eine konstante Geschwindigkeit haben.

Ist der Ort x eine Funktion der Zeit t in der Form x = x(t), so ergibt sich die Geschwindigkeit v(t) durch Ableiten des Ortes nach der Zeit, mit

$\dot \vec {x}(t) = \vec {v}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec {x}(t)}{\mathrm{d}t}$

wobei man in der Physik Ableitungen nach der Zeit üblicherweise als $\dot x(t)$ schreibt.

Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung, die ebenfalls ein Vektor ist, mit

$\ddot \vec {x}(t) = \vec {a}(t) = \frac{\mathrm{d^2}\vec {x}(t)}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}\vec {v}(t)}{\mathrm{d}t}$

Ebenfalls lässt sich die Geschwindigkeit als Ableitung der Energie nach dem Impuls definieren, mit

$v = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p}$

Beispiel: Die kinetische Energie in der klassischen Mechanik ist

$E = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{p^2}{2m}.$

Die Ableitung ist dann

$v = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = \frac{p}{m} = v.$

[Bearbeiten] Einheiten

SI-Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s). Eine weitere gebräuchliche Einheit der Geschwindigkeit ist Kilometer pro Stunde (km/h).

In der Alltagssprache (auch im Duden) wird auch die Bezeichnung „Stundenkilometer“ verwendet, welche im Sinne von „stündlichen Kilometern“ gemeint ist. Da es jedoch in der Physik Konvention ist, dass eine derartige Zusammensetzung für eine Multiplikation der aufgeführten Einheiten steht, würde „Stundenkilometer“ für die Einheit „km×h“ statt „km/h“ stehen. Deshalb sollte der Ausdruck „Stundenkilometer“ vermieden werden. Im Alltag führt der Begriff nicht zu Missverständnissen, da es keine Größe mit der Einheit „km×h“ gibt. In der geschriebenen Sprache sollte man aber insbesondere bei der Abkürzung „km/h“ den Divisionsstrich nicht weglassen.

Als nicht metrische Einheit wird vor allem in den USA und einigen anderen englischsprachigen Ländern Meilen pro Stunde (mph) benutzt. In der See- und Luftfahrt ist außerdem die Einheit Knoten (kn) gebräuchlich; ein Knoten ist eine Seemeile pro Stunde. Vertikalgeschwindigkeiten in der motorisierten Luftfahrt werden in der Regel in Fuß pro Minute angegeben.

Fast nur in der Luftfahrt wird das Mach verwendet, das keine absolute Größe hat, sondern das Verhältnis der Geschwindigkeit zur lokalen Schallgeschwindigkeit angibt. Die Schallgeschwindigkeit ist stark temperaturabhängig aber nicht luftdruckabhängig. Der Grund für die Nutzung dieser Zahl ist, dass aerodynamische Effekte von ihr abhängen. Beim Erreichen der Schallgeschwindigkeit ändert sich das Strömungsverhalten. Propellermaschinen können beispielsweise nicht schneller als der Schall fliegen, sondern nur einen bestimmten Bruchteil der Schallgeschwindigkeit erreichen, gleichgültig, wie groß diese absolut ist.

Umrechnung gebräuchlicher Geschwindigkeitseinheiten:

1 kn = 0,5144 m/s = 1,852 km/h (= 1 Seemeile/h);
1 m/s = 1,944 kn = 3,6 km/h (exakt) = 2,237 mph (Kehrwert: 1 km/h = 5/18 m/s = $0{,}2\overline{7}$ m/s ≈ 0,278 m/s)
1 km/h = 0,540 kn = 0,2778 m/s = 0,6214 mph;
1 mph = 0,8690 kn = 0,44704 m/s (exakt) = 1,609344 km/h (exakt);
100 ft/min = 0,508 m/s (exakt);
c = 299.792.458 m/s (exakt) = 582.749.918 kn = 670.616.629 mph = 1.079.252.848,8 km/h. (exakt)

Die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist eine wichtige Naturkonstante der Physik. Mit dieser Geschwindigkeit breiten sich elektromagnetische Wellen, also auch das Licht, im Vakuum aus. Außerdem ist die Lichtgeschwindigkeit nach der Relativitätstheorie die höchste (lokal) mögliche Geschwindigkeit für Bewegung und Informationsübertragung.

[Bearbeiten] Besondere Darstellungen

[Bearbeiten] Kartesische und Polarkoordinaten

Eine Bahn (Trajektorie) ist bestimmt durch einen Ortsvektor (Fahrstrahl) als Funktion der Zeit:

$\vec r = \vec r(t)$

wobei eine Darstellung von $\vec r$ möglich ist

in kartesischen Koordinaten $\vec r = \vec x = \vec x (x, y)\,$ bzw. $= \vec x (x, y, z)$ in den häufigen Fällen der Ebene und des Raumes
in Polarkoordinaten $\vec r = \vec r (\varphi)\,$ bzw. $= \vec r (\varphi, \rho)$ oder in Kugelkoordinaten $\vec r = \vec r (\varphi, \theta)$

Dann ist die Geschwindigkeit des Punktes die Änderung des Ortes mit der Zeit, die einfachste Darstellung der Bewegungsgleichung:

$\vec v(t) = \dot \vec r(t)$ … die Bahngeschwindigkeit

die Ableitung in der Punktschreibweise, die in der Dynamik üblich ist

Bei astronomischen Objekten, wie Planeten, Kometen, oder Satelliten nennt man die Geschwindigkeit traditionell Bahngeschwindigkeit, oder Orbitalgeschwindigkeit bei geschlossenen Bahnen.

[Bearbeiten] Tangentialgeschwindigkeit (Umfanggeschwindigkeit) und Radialgeschwindigkeit

Bei Beobachtung aus einem Punkt zeigt die Geschwindigkeit zwei Komponenten – hier nimmt man typischerweise die Polardarstellung zuhilfe:

$\vec v_\perp = \vec \omega \times \vec r$ ist die Tangentialkomponente der Bahngeschwindigkeit

mit ω als der Winkelgeschwindigkeit

$v_t = \dot r$ ist der Betrag der Radialkomponente, die Radialgeschwindigkeit

Für die Radialkomponente reicht also eine rein geometrische Betrachtung der Bewegung nicht aus, man muss den Zeitverlauf der Bahn kennen und den Differentialkalkül zu Hilfe nehmen.

Tangentialgeschwindigkeit und Radialgeschwindigkeit treten in der Beobachtung immer auf, auch bei geradlinigen Bahnen.

[Bearbeiten] Absolute und Relativgeschwindigkeit

Der Begriff Bahngeschwindigkeit der Astronomie grenzt zum einen die Geschwindigkeit längs der Bahn eindeutig von der Winkelgeschwindigkeit ab, mit der der Himmelskörper über den Nachthimmel zieht – dies ist die für die beobachtende Astronomie vorrangige Größe, wie sie auch als Bahnelement angegeben wird.

Zum anderen spielt die „physikalische“ (absolute) Geschwindigkeit in der Astronomie keinerlei Rolle, weil prinzipiell keine ruhenden Bezugssysteme existieren: So beträgt etwa die Geschwindigkeit des Mondes:

Geschwindigkeit des Mondes (in km/s)
	Mittlere Bahngeschwindigkeit (um den Erde-Mond-Schwerpunkt)	um die Sonne/Baryzentrum des Sonnensystems	um das galaktische Zentrum	in Bezug zur Andromeda
Geschwindigkeit	1,02 ± 5,5 % mensal	29,78 ± 1,51 (± 5,1 % annual)	~ 250 (je galaktischem Jahr, genaue Schwankungen unbekannt)	266 ± 31,3 (annual)
Anteil der mittleren Bahngeschwindigkeit an der mittleren Relativgeschwindigkeit	100 %	3,4 %	0,4 %	0,37 %

Für ferne Objekte des Universums ist die Geschwindigkeit primär von der Ausdehnung der Raumzeit bestimmt, und wird etwa als Rotverschiebung gemessen. Daher spielt in der Astronomie ausschließlich die Darstellung der Relativgeschwindigkeit in Bezug zu einem ausgewählten Gravizentrum (Erde-Mond-System, Sonnensystem, Erdorbit eines Satelliten) bzw. zum Beobachtungsort eine Rolle.

[Bearbeiten] Geschwindigkeit zahlreicher Teilchen

Die Geschwindigkeiten in einem strömenden Medium können als Vektorfeld aufgefasst werden.

[Bearbeiten] Spezialfälle

Der Trivialfall ist ein Punkt in Ruhe: Hier ist die Bahngeschwindigkeit offenkundig null. Ein einfacher Fall ist auch die unbeschleunigte geradlinige Bewegung, hier ist die Bahngeschwindigkeit $\vec v(t) = \mathrm{const.}$

[Bearbeiten] Beschleunigte Bewegungen

Bei einer geradlinigen beschleunigten Bewegung gelten die Grundbedingungen einer Geschwindigkeit. Bei allen anderen Bahnen folgt direkt aus dem ersten Newtonschen Axiom (Trägheitsprinzip), dass eine Beschleunigung wirken muss.

Bei allen Bahnen, auf denen eine Beschleunigung wirkt, folgt aus deren Definition

$\vec a = \ddot \vec r(t)$

mit dem Verlauf der Beschleunigungen als einer Funktion der Zeit, die die Bahn bestimmt

$\vec v (t) = \int \vec a(t) \operatorname{d} t$

Gilt $\vec a(t) = \mathrm{const.}$ , spricht man von gleichmäßiger Bewegung.

Typische Grundprobleme der beschleunigten Bewegungen sind freier Fall und Wurfparabel in einem Gravitationsfeld, die kreisförmige Bewegung und die Keplerbahnen.

[Bearbeiten] Nicht-geradlinige Bahnen

Bei allen nicht-geradlinigen Bewegungen, ändert sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Er ist dann eine instantane Größe (wie auch bei Beschleunigungen), und kann als solche nur für einen gewissen Zeitpunkt angegeben werden. Dabei zeigt der Vektor immer in die momentane Bewegungsrichtung – und diese wird durch die Tangente an die Bahnkurve beschrieben, die nach ihrer Definition die Gerade des differenziellen Linienelements ist, dem in der Annäherung an Null als gerade annehmbarem Abschnitt der Bahn. Daher ist jede Bahngeschwindigkeit einer nicht-geradlinigen Bewegung eine Tangentialgeschwindigkeit.

Da an jedem Punkt einer stetig differenzierbaren Bahn auch die Krümmung berechnet werden kann (über die zweite Ableitung), lässt sich die Bahn durch ihren Krümmungskreis annähern, und spricht von Umfanggeschwindigkeit, weil die Tangente an den Umfang des Krümmungskreises anliegt. An allen Stellen ergibt sich dabei eine Bewegung, welche mit Hilfe der Vektorrechnung in eine radiale (entlang des Krümmungskreisradius) zerlegt werden kann, und eine tangentiale Bewegungskomponente: Es gibt eine Radialgeschwindigkeit, und es tritt unabhängig von einer Tangentialbeschleunigung auch eine Beschleunigung durch die Zentripetalkraft (deren Gegenkraft die „Fliehkraft“ ist) auf.

Misst man aus dem Krümmungskreismittelpunkt, verschwindet die Radialkomponente. Der „fehlende“ Anteil liegt darin, dass der Krümmungskreismittelpunkt nur für diesen einen Bahnpunkt gilt, und sich beim Fortschreiten auf der Bahn – außer bei einem kreisbogenförmigen Abschnitt der Bahn – verschiebt.

[Bearbeiten] Geschlossene Bahnkurven: Umlaufgeschwindigkeit

Bei geschlossenen Bahnkurven (insbesondere) Kreis- und Ellipsenbahnen spricht man von Umlaufgeschwindigkeit oder Orbitalgeschwindigkeit, weil der Körper periodisch dieselbe Kurve durchläuft.

In der Himmelsmechanik bezeichnet die Orbitalgeschwindigkeit die Bahngeschwindigkeit, mit der sich ein Körper um einen Gravizentrum bewegt (Orbit, Umlaufbahn). Umwandern sich zwei Körper aufgrund ihrer Schwerkraftwirkung, so ist die Bahnkurve jeweils eine Ellipse. Für den Spezialfall eines kreisförmigen Orbits bringt die Anziehungskraft zwischen den Himmelskörpern jeweils gerade die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft auf, wodurch die Geschwindigkeit festgelegt (und betragsmäßig konstant) ist.

[Bearbeiten] Kreisbewegung

Eines der Grundprobleme der Ermittlung einer Bahngeschwindigkeit ist die Bewegung auf einer Kreisbahn (Rotation). In diesem Fall bewegt sich der Punkt in konstantem Abstand zum Kreismittelpunkt.

Im Gegensatz zur Winkelgeschwindigkeit $ω$ , die beschreibt, in welcher Zeit ein Objekt einen bestimmten Kreissektor, also einen Winkel, umrundet, ist die Tangentialgeschwindigkeit auch abhängig vom Radius $r$ des Kreises. Daraus folgt, dass ein Punkt auf einer sich drehenden Scheibe am Rand eine größere Tangentialgeschwindigkeit hat, als ein sich dem Mittelpunkt näher befindender Punkt, da er eine größere Strecke in der gleichen Zeit zurücklegt.

$v = \frac{s}{t}$

Wenn $t$ die Zeitdauer einer vollständigen Umrundung des Kreises ist ( $t = T$ ), so gilt $s = 2π r$ (Kreisumfang). Daraus folgt:

$v= \frac {s}{t} = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$

Der zurückgelegte Weg s auf dem Kreisumfang ist laut dem Bogenmaß $s = b = r \varphi$

Eine andere Möglichkeit der Herleitung führt über das Bogenmaß $\varphi = \tfrac {b}{r}$ : Wenn ein Weg $s$ in der Zeit $t$ zurückgelegt wird, ist die Geschwindigkeit $v = \tfrac {s}{t}$ Hier ist der Weg $s$ gleich die Bogenlänge $b = r \varphi$ (siehe Bild). Eingesetzt ergibt das $v = \tfrac {r \varphi}{t}$ . Dabei ist $\tfrac {\varphi}{t}$ die Winkelgeschwindigkeit $\omega\,$ , also folgt: $v = r \omega\,$

Rechenbeispiel: Die Bahngeschwindigkeit eines Punkts auf dem Äquator der Erde
Der Erdumfang beträgt etwa 40000 km. Ein Ort auf dem Äquator umläuft die Erdachse in etwa 24 h (einen Tag). Die Bahngeschwindigkeit ist dann

$v=\frac{40000 \, \mathrm{km}}{24 \, \mathrm{h}} \approx 1666\,\mathrm{km/h}$

Für die Stadt München, die etwa bei 48° nördlicher Breite liegt, ist die Geschwindigkeit $\cos (48^\circ) = 0,67$ Mal so groß; das heißt nur etwa 1100 km/h.

Die Kreistangente steht zu jedem Zeitpunkt im rechten Winkel zur Verbindungslinie vom Kreismittelpunkt zum bewegten Punkt, dem Berührungsradius. Daher tritt keine Radialgeschwindigkeit auf (die Bewegung entlang des Radius ist null, weil der Radius konstant bleibt). Trotzdem ist auch eine gleichförmige Kreisbewegung nicht beschleunigungsfrei, es tritt eine Zentripetalbeschleunigung auf, die den Punkt „in die Kreisbahn zwingt.“ Sie wird etwa von einem Seil, an dem ein Körper rotiert, ausgeübt, oder von der Gravitation.

[Bearbeiten] Ellipsenbahn

In der Astronomie treten elliptischen Bahnen als eine der grundlegenden Lösungen der Keplergleichung im Zweikörpersystem auf. Kreisbahnen, die in der technischen Mechanik bevorzugt vorkommen, spielen in der Astronomie keine Rolle, sie sind nur eine Ideallösung, die die Basis für die Bahnbestimmung bilden (Mittlere Anomalie).

Aufgrund der Energieerhaltung ist die Orbitalgeschwindigkeit im allgemeinen Fall einer Ellipse nicht konstant, sondern nimmt zu, wenn der Abstand zwischen den Körpern kleiner wird. Mit Orbitalgeschwindigkeit können dann verschiedene Größen gemeint sein, etwa die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt oder eine gemittelte Geschwindigkeit.
Johannes Kepler entdeckte, dass zwar Bahnradius und Bahngeschwindigkeit variieren, aber der Fahrstrahl (die Verbindungslinie zwischen Gravizentrum und umlaufendem Körper) in gleicher Zeit die gleiche Fläche überstreicht (Zweites Keplergesetz).

An einer Ellipse ist die Tangente nur an vier Stellen, den Haupt- und Nebenscheiteln, den Endpunkten der großen und kleinen Halbachse, rechtwinklig zum Radius, und die Berechnungen für eine Kreisbahn gelten hier nur für die Normalkomponente an den Radius.

Der Umfang einer Ellipse, der für den Weg-Zeit-Zusammenhang der Geschwindigkeit gebraucht wird, kann analytisch nicht berechnet werden. Man muss hier auf die Elliptischen Integrale zurückgreifen, die die Bogenlänge der Kegelschnitte beschreiben, und nur in Spezialfällen analytisch lösbar sind – mit ihnen hat sich schon Euler und Gauß, und später insbesondere Legendre auseinandergesetzt. (Eine besondere Klasse führt auf die Jacobi-Integrale, und darüber weiter zur Fourier-Analyse.) Meist wird daher auf numerische Methoden zurückgegriffen, in der Praxis erfolgen daher besonders häufige Messungen – das ist das Kernproblem der Bahnbestimmung.

Für die Hauptscheitel der Ellipse gibt es aber analytische Lösungen:^[1]

Winkelgeschwindigkeit im Perizentrum: $\omega_\mathrm{p} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a + e) / (a - e) ^3 }$

Winkelgeschwindigkeit im Apozentrum: $\omega_\mathrm{a} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { a^2 (a - e) / (a + e) ^3 }$

mit

- ω_m: mittlere Winkelgeschwindigkeit
  
  $ω m = 2π / T$
  
  T: Umlaufdauer
- a: große Halbachse
- e: numerische Exzentrizität

Weil sich der Radiusvektor in den Scheiteln differentiell kaum ändert, gilt:

Perizentrumsgeschwindigkeit: $v_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{p} (a - e) = \frac {2 \pi }{ T } a \sqrt { \frac {a + e}{a - e} }$

Apozentrumsgeschwindigkeit: $v_\mathrm{r} = \omega_\mathrm{a} (a + e) = \frac {2 \pi }{ T } a \sqrt { \frac {a - e}{a + e} }$

Die Perizentrumsgeschwindigkeit ist das Maximum der Orbitalgeschwindigkeit, die Apozentrumsgeschwindigkeit das Minimum.

Mit e $\ll$ a (kreisähnliche Bahnen) gilt näherungsweise:^[1]

$\omega_\mathrm{p} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { 1 + 2 e/a }$

$\omega_\mathrm{a} = \omega_\mathrm{m} \sqrt { 1 - 2 e/a }$

Siehe auch:

Keplerbahn
Zweikörperproblem (Keplerproblem), Mehrkörpersystem
Hodograph

[Bearbeiten] Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck

Die Ableitung des Ortes nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit: $\vec {v}(t)=\dot \vec {x}(t)$

Die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit, also die Ableitung der Geschwindigkeit, ist die Beschleunigung: $\vec {a}(t)=\dot \vec {v}(t)=\ddot \vec {x}(t)$

Die dritte Ableitung schließlich, also nunmehr die Ableitung der Beschleunigung nach der Zeit, gibt den Ruck an: $\vec {j}(t)= \dot \vec {a}(t)=\ddot \vec {v}(t) = {\mathrm{d^3}\vec {x}(t)\over \mathrm{d}t^3}$

[Bearbeiten] Geschichtliche Anmerkung

Galileo Galilei definierte wohl als Erster die Geschwindigkeit gleichförmig-geradliniger Bewegung geometrisch, und zwar als Proportionalität der vom bewegten Körper zurückgelegten Strecken s zu den dazu benötigten Zeiten t.^[2] Dies entspricht in heutigen Begriffen der Durchschnittsgeschwindigkeit.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ ^a ^b Norbert Treiz: Wie schnell sieht die Sonne einen Planeten wandern?. In: Spektrum der Wissenschaft. 04/09, spektrum Akademischer Verlag, April 2009, Physikalische Unterhaltungen. Sonnensystem (III): Keine Sonnenuhr für den Merkur., S. 36–38 (Kasten S. 37 – mit Herleitung der Formeln über die Energieerhaltung).
↑ Galileo Galilei: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla mecanica ed i movimenti locali, Leiden 1638

[Bearbeiten] Weblinks

Wiktionary: Geschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik

Wikibooks: Formelsammlung Mechanik – Lern- und Lehrmaterialien

Versuche und Aufgaben zur Geschwindigkeit

[spektrum-0] Norbert Treiz: Wie schnell sieht die Sonne einen Planeten wandern?. In: Spektrum der Wissenschaft. 04/09, spektrum Akademischer Verlag, April 2009, Physikalische Unterhaltungen. Sonnensystem (III): Keine Sonnenuhr für den Merkur., S. 36–38 (Kasten S. 37 – mit Herleitung der Formeln über die Energieerhaltung).

[1] Galileo Galilei: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla mecanica ed i movimenti locali, Leiden 1638

[1]

[2]