Satz vom abgeschlossenen Graphen

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Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis.

Formulierung[Bearbeiten]

Es seien X und Y Banachräume und A\colon X \rightarrow Y ein linearer Operator. Es bezeichne \Gamma (A):=\{(x,Ax)\mid x \in X\} den Graphen von A.

Dann ist A genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn A ein abgeschlossener Operator ist (d. h. \Gamma \left(A\right) abgeschlossen in X \times Y).

Herleitung[Bearbeiten]

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann auf das Lemma von Zabreiko zurückgeführt werden.

Ferner kann der Satz wie folgt aus den Satz von der offenen Abbildung hergeleitet werden. Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist \Gamma (A) ein Banachraum. Trivialerweise ist (x,Ax)\mapsto x eine bijektive, lineare, beschränkte Abbildung zwischen \Gamma (A) und X. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung x \mapsto (x,Ax) ebenfalls beschränkt ist, und das impliziert die Stetigkeit von A.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann in der Theorie lokalkonvexer Räume auf größere Raumklassen ausgedehnt werden, siehe dazu Raum mit Gewebe, ultrabornologischer Raum oder (LF)-Raum.

Anwendung[Bearbeiten]

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist eine Folgerung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Literatur[Bearbeiten]