Satz vom abgeschlossenen Graphen

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis.

Formulierung

Es seien $X$ und $Y$ Banachräume und $A : X \rightarrow Y$ ein linearer Operator. Es bezeichne $\Gamma (A):=\{(x,Ax)|x \in X\}$ den Graphen von $A$.

Dann ist $A$ genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn $A$ ein abgeschlossener Operator ist (d.h. $\Gamma \left(A\right)$ abgeschlossen in $X \times Y$).

Herleitung

Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist $\Gamma (A)$ ein Banachraum. Trivialerweise ist $(x,Ax)\rightarrow x$ eine bijektive, beschränkte Abbildung zwischen $\Gamma (A)$ und $X$. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung $x \rightarrow (x,Ax)$ ebenfalls beschränkt ist.

Verallgemeinerung

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann in der Theorie lokalkonvexer Räume auf größere Raumklassen ausgedehnt werden, siehe dazu Raum mit Gewebe, ultrabornologischer Raum oder (LF)-Raum.

Anwendung

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist eine Folgerung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6