Satz vom abgeschlossenen Graphen

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Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis.

Formulierung[Bearbeiten]

Es seien X und Y Banachräume und A\colon X \rightarrow Y ein linearer Operator. Es bezeichne \Gamma (A):=\{(x,Ax)\mid x \in X\} den Graphen von A.

Dann ist A genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn A ein abgeschlossener Operator ist (d. h. \Gamma \left(A\right) abgeschlossen in X \times Y).

Herleitung[Bearbeiten]

Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist \Gamma (A) ein Banachraum. Trivialerweise ist (x,Ax)\mapsto x eine bijektive lineare beschränkte Abbildung zwischen \Gamma (A) und X. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung x \mapsto (x,Ax) ebenfalls beschränkt ist.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann in der Theorie lokalkonvexer Räume auf größere Raumklassen ausgedehnt werden, siehe dazu Raum mit Gewebe, ultrabornologischer Raum oder (LF)-Raum.

Anwendung[Bearbeiten]

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist eine Folgerung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Literatur[Bearbeiten]