Satz von Hellinger-Toeplitz

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Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

Formulierung[Bearbeiten]

Es seien H ein Hilbertraum und T : H \rightarrow H ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle x,\,y \in H die Gleichung

\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle

erfüllt. Dann ist T stetig.

Beweis[Bearbeiten]

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist (x_n)_{n \in \mathbb N} eine Nullfolge und Tx_n konvergent, dann ist \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n = 0.
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf H und setze y:=\lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n, dann folgt

\langle y,y\rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle = \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle = \langle 0,Ty \rangle = 0,

also y = 0.

Folgerungen[Bearbeiten]

  • Da der Operator T linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
  • Jeder symmetrische, überall auf H definierte Operator ist selbstadjungiert.
  • Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien H_1 und H_2 Hilberträume und T : H_1 \rightarrow H_2 ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator S : H_2 \rightarrow H_1, der für alle x\in H_1 und y\in H_2 die Gleichung

\langle Tx,y \rangle = \langle x,Sy \rangle

erfüllt. Dann sind T und S stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur[Bearbeiten]

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)