Satz von Commandino

Der Satz von Commandino ist ein Lehrsatz der Raumgeometrie, welcher auf den italienischen Mathematiker Federigo Commandino (1506–1575) zurückgeht. Er behandelt eine elementare Durchschnittseigenschaft der Mittellinien (engl. medians) des allgemeinen Tetraeders. Der Satz ist das dreidimensionale Analogon des Durchschnittssatzes über die Seitenhalbierenden in der Dreiecksgeometrie.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ . Jeder der vier Eckpunkte $X=A,\,B,\,C,\,D$ von ${\mathcal {T}}$ ist mit dem Schwerpunkt $S'_{X}$ der gegenüberliegenden Dreiecksfläche $\Delta '_{X}$ durch eine Gerade verbunden , nämlich durch die zu $X$ gehörige Mittellinie   $m_{X}\subset \mathbb {R} ^{3}$.

Dafür gilt:

Der Durchschnitt  $\textstyle \bigcap _{X=A,\,B,\,C,\,D}{m_{X}}$  der vier Mittellinien besteht aus genau einem Punkt.

Dies ist der Schwerpunkt $S({\mathcal {T}})$ des Tetraeders ${\mathcal {T}}$.

Dabei beträgt das Teilverhältnis $\lambda$, in dem der Schwerpunkt $S({\mathcal {T}})$ die Strecke ${\overline {S'_{X}X}}$ zweiteilt, stets   $\lambda$ = 1 : 3   und der Eckpunkt $X$ ist stets Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken.

Verallgemeinerung

Der dem Satz von Commandino entsprechende Sachverhalt gilt für Simplexe beliebiger Dimension:

In einem $p$-Simplex $\Delta$ beliebiger Dimension $p>1$ und mit Eckpunkten $X(0),X(1),\dots ,X(p)$ treffen sich die Mittellinien   $m_{X(0)},m_{X(1)},\dots ,m_{X(p)}$, also die Verbindungsgeraden der $\Delta$-Eckpunkte $X(i)(i=0,1,\dots ,p)$ mit den Schwerpunkten $S'_{X(i)}$ der jeweils gegenüberliegenden $(p-1)$-dimensionalen Seitenflächen $\Delta '_{X(i)}$ , genau im Schwerpunkt $S(\Delta )$ des Simplexes, wobei das Teilverhältnis $\lambda$, in dem der Schwerpunkt $S(\Delta )$ die Strecke ${\overline {{S'_{X(i)}}{X(i)}}}$ zweiteilt, stets   $\lambda =1:p$   beträgt und $X(i)$ stets Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken ist.

Literatur

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1964, OCLC 1597161. 
• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u.a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3. 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.  MR0533264