Satz von Cramér-Wold

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Der Satz von Cramér-Wold (nach Harald Cramér und Herman Wold) aus der Maßtheorie besagt, dass ein Borelmaß auf \mathbb{R}^k durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist. Dies begründet, warum es in statistischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht, sich Projektionen der Daten anzuschauen. Er wurde 1936 veröffentlicht.[1]

Es seien  \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \; und  \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k) zwei k-dimensionalen Zufallsvariablen. Dann gilt

\overline{X}_n {\rightarrow}  \overline{X} \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} {\rightarrow} \sum_{i=1}^k t_iX_i für alle  (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k .

Jede (feste) Linearkombination von \overline{X}_nkonvergiert in Verteilung gegen die korrespondierende Linearkombination von \overline{X} genau dann, wenn \overline{X}_n gegen \overline{X} konvergiert in Verteilung. Dies bedeutet, die Konvergenz in Verteilung einer multivariaten Zufallsvariablen kann auf die Konvergenz in Verteilung einer univariaten Zufallsvariablen (eben der Linearkombinationen) zurückgeführt werden.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Harald Cramér, Herman Wold: Some theorems on distribution functions. In: Journal of the London Mathematical Society. Serie 1, Bd. 11, Nr. 4, 1936, ISSN 0024-6107, S. 290–294, doi:10.1112/jlms/s1-11.4.290.