Satz von Frobenius (Differentialtopologie)

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In der Mathematik gibt der Satz von Frobenius eine leicht nachzuprüfende, äquivalente Bedingung für die vollständige Integrierbarkeit von Hyperebenenfeldern, also für die Existenz einer maximalen Menge unabhängiger Lösungen zu einem unterbestimmten System partieller Differentialgleichungen.

Vollständige Integrierbarkeit[Bearbeiten]

Ein Untervektorbündel

F\subset TM

des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heißt vollständig integrierbar (oft auch nur integrierbar), wenn es eine Blätterung {\mathcal{F}} von M mit

F=T{\mathcal{F}} gibt.

Satz von Frobenius[Bearbeiten]

Der Satz von Frobenius besagt, dass ein Untervektorbündel F\subset TM genau dann vollständig integrierbar ist, wenn die Vektorfelder mit Werten in F eine Lie-Unteralgebra der Lie-Algebra aller Vektorfelder bilden, wenn also der Kommutator zweier F-wertiger Vektorfelder wieder Werte in F hat.

Formulierung mittels Differentialformen[Bearbeiten]

Sei \Omega(M) der Ring der Differentialformen auf M. Zum Untervektorbündel F\subset TM betrachte man das Ideal

I(F):=\left\{\alpha\in\Omega(M):\iota_v\alpha=0\ \forall\ v\in F\right\}=\left\{\alpha\in\Omega(M):\alpha(v,.,\ldots,.)\cong 0\ \forall\ v\in F\right\}.

Dann ist der Satz von Frobenius äquivalent zu folgender Aussage:

F\subset TM ist genau dann vollständig integrierbar, wenn I(F) abgeschlossen unter der äußeren Ableitung ist, wenn also aus \alpha\in I(F) stets d\alpha\in I(F) folgt.

Lokale Beschreibung[Bearbeiten]

In lokalen Koordinaten auf einer offenen Teilmenge U\subset M lässt sich ein Hyperebenenfeld der Kodimension k durch k 1-Formen \omega_1,\ldots,\omega_k beschreiben, welche I(F) erzeugen. Das Hyperebenfeld ist dann auf U also genau dann integrierbar, wenn es 1-Formen \eta_{ij} mit

d\omega_i=\Sigma_{j}\eta_{ij}\wedge\omega_j

gibt.

Dies wiederum ist mit

\Omega:=\omega_1\wedge\ldots\wedge\omega_k

äquivalent zu jeder der folgenden Bedingungen:

  • für i=1,\ldots,k gilt
d\omega_i\wedge\Omega=0
  • es gibt eine 1-Form \alpha mit
d\Omega=\alpha\wedge\Omega
  • es gibt lokal definierte Funktionen f_{ij},g_j mit
\omega_i=\Sigma_jf_{ij}dg_j.

Beispiel[Bearbeiten]

Wenn F ein 1-dimensionales Hyperebenenfeld (also ein Geradenfeld) ist, dann sind alle Kommutatoren F-wertiger Vektorfelder Null, die Voraussetzung des Satzes von Frobenius also trivialerweise erfüllt. Man erhält, dass jedes Geradenfeld integrierbar ist. Dies folgt aber bereits direkt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen, der ebenfalls beim Beweis des Satzes von Frobenius verwendet wird.

Literatur[Bearbeiten]

  • Sternberg, Shlomo: Lectures on differential geometry. Second edition. With an appendix by Sternberg and Victor W. Guillemin. Chelsea Publishing Co., New York, 1983. ISBN 0-8284-0316-3