Vektorfeld

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Gesichtet

Dies ist die letzte gesichtete Version, (zeige alle), freigegeben am 28. Juni 2008.

Status

gesichtet

Beispiel eines Vektorfeldes. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben

In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der pysikalischen Feldtheorie. Zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchen einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen- oder der Schwerkraft zu beschreiben.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Vektorfelder im euklidschen Raum
  - 1.1.1 Beispiele
- 1.2 Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten
  - 1.2.1 Anmerkungen
2 Anwendungen
3 Siehe auch
4 Literatur

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Vektorfelder im euklidschen Raum

Unter einem Vektorfeld $v$ auf einer Menge $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt $x \in \Omega$ einen Vektor $v(x) \in \R^n$ zuordnet, $v : \Omega \rightarrow \R^n$ . Ist $v$ k-mal differenzierbar, so spricht man von einem $C k$ -Vektorfeld. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge $Ω$ ein „Pfeil angebracht“.

[Bearbeiten] Beispiele

Gradientenfeld: Sei $f : \Omega \rightarrow \R$ eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge $\Omega \subset \R^n$ , so wird das Gradientenfeld $\nabla f : \Omega \rightarrow \R^n$ von $f$ definiert durch die Zuordnung $x \mapsto \nabla f(x)$ .
Zentralfelder: Sei $I$ ein Intervall welches die Null enthält und $K(I) = \{x \in \R^n: \|x\| \in I\} \subset \R^n$ eine Kugelschale. Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durch

$v(x) = a(\|x\|) \cdot x$ mit $a:I \rightarrow \R$ .

In $\R^3 \backslash \{0\}$ ist das Gravitationsfeld $v(x) = -\frac{x}{\|x\|^3}$ ein solches Zentralfeld.

[Bearbeiten] Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel $T M$ .

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine $C k$ -Abbildung $v$ , so dass $v : M \to TM$ mit $\pi\circ\sigma = \mathop{\operatorname{id}}_M$ gilt. Es wird also jedem $x \in M$ ein Vektor $v(x) \in T_xM$ zugeordnet. Die Abbildung $π$ ist die natürliche Projektion $\pi : TM \rightarrow M$ mit $(p,v) \mapsto p$ .