Vektorfeld

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Beispiel eines Vektorfeldes. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben
Beispiel eines Vektorfeldes. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben

In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der pysikalischen Feldtheorie. Zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchen einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen- oder der Schwerkraft zu beschreiben.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

[Bearbeiten] Vektorfelder im euklidschen Raum

Unter einem Vektorfeld v auf einer Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt x \in \Omega einen Vektor v(x) \in \R^n zuordnet, v : \Omega \rightarrow \R^n. Ist v k-mal differenzierbar, so spricht man von einem Ck-Vektorfeld. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge Ω ein „Pfeil angebracht“.

[Bearbeiten] Beispiele

  • Gradientenfeld: Sei f : \Omega \rightarrow \R eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge \Omega \subset \R^n, so wird das Gradientenfeld \nabla f : \Omega \rightarrow \R^n von f definiert durch die Zuordnung x \mapsto \nabla f(x).
  • Zentralfelder: Sei I ein Intervall welches die Null enthält und K(I) = \{x \in \R^n: \|x\| \in I\} \subset \R^n eine Kugelschale. Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durch
 v(x) = a(\|x\|) \cdot x mit a:I \rightarrow \R.

[Bearbeiten] Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel TM.

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Ck-Abbildung v, so dass  v : M \to TM  mit  \pi\circ\sigma = \mathop{\operatorname{id}}_M gilt. Es wird also jedem x \in M ein Vektor  v(x) \in T_xM zugeordnet. Die Abbildung π ist die natürliche Projektion \pi : TM \rightarrow M mit (p,v) \mapsto p .

[Bearbeiten] Anmerkungen

Diese Definition verallgemeinert die der Vektorfelder im euklidschen Raum. Es gilt nämlich \R^n \cong T_p\R^n und T \R^n \cong \R^n \times \R^n.

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

[Bearbeiten] Anwendungen

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Königsberger: Analysis 2, Springer-Verlag, Berlin, 5. Auflage, 2004

John Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer-Verlag, 2. Auflage

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