Satz von Gelfand-Mazur

Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass $\mathbb C$ die einzige $\mathbb C$-Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Lemma über das Spektrum

Sei A eine $\mathbb C$-Banachalgebra mit Einselement 1. Dann gibt es zu jedem $a\in A$ ein $\lambda\in {\mathbb C}$, so dass $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller $\lambda \in {\mathbb C}$, für die $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von $a$. Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer $\mathbb C$-Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Beweis

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, $a-\lambda 1$ sei für jedes $\lambda \in {\mathbb C}$ invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene $\lambda,\mu \in {\mathbb C}$

$(a-\lambda 1)^{-1}(\lambda-\mu)(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1}((a-\mu 1)-(a-\lambda 1))(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1} - (a-\mu 1)^{-1}$

Man wende nun ein beliebiges $f\in A'$ an und teile obige Gleichung durch $\lambda-\mu$. Es folgt

$\frac{f((a-\lambda 1)^{-1}) - f((a-\mu 1)^{-1})}{\lambda-\mu} = f((a-\lambda 1)^{-1}(a-\mu 1)^{-1})$.

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für $\mu\rightarrow \lambda$, denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in A sind stetig und f ist stetig. Daher ist die Funktion $\lambda\mapsto f((a-\lambda 1)^{-1})$ holomorph auf ganz $\mathbb C$. Sie verschwindet im Unendlichen, denn $\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \|(a-\lambda 1)^{-1}\| = 0$ und f ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz $\mathbb C$ gleich 0 sein. Da $f\in A'$ beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass $(a-\lambda 1)^{-1}=0$, aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Satz von Gelfand-Mazur

Ist die $\mathbb C$-Banachalgebra A ein Schiefkörper, so ist $A \cong {\mathbb C}$.

Ist nämlich $a\in A$, so gibt es nach obigem Lemma ein $\lambda\in{\mathbb C}$, so dass $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist. Da 0 das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss $a=\lambda 1$ sein. Also ist jedes Element von A ein Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Quellen

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)