Satz von Gelfand-Mazur

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Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass \mathbb C die einzige \mathbb C-Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Lemma über das Spektrum[Bearbeiten]

Sei A eine \mathbb C-Banachalgebra mit Einselement 1. Dann gibt es zu jedem a\in A ein \lambda\in {\mathbb C}, so dass a-\lambda 1 nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller \lambda \in {\mathbb C}, für die a-\lambda 1 nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von a. Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer \mathbb C-Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, a-\lambda 1 sei für jedes \lambda \in {\mathbb C} invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene \lambda,\mu \in {\mathbb C}

 (a-\lambda 1)^{-1}(\lambda-\mu)(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1}((a-\mu 1)-(a-\lambda 1))(a-\mu 1)^{-1} = (a-\lambda 1)^{-1} - (a-\mu 1)^{-1}

Man wende nun ein beliebiges f\in A' an und teile obige Gleichung durch \lambda-\mu. Es folgt

 \frac{f((a-\lambda 1)^{-1}) - f((a-\mu 1)^{-1})}{\lambda-\mu} = f((a-\lambda 1)^{-1}(a-\mu 1)^{-1}) .

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für \mu\rightarrow \lambda, denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in A sind stetig und f ist stetig. Daher ist die Funktion \lambda\mapsto f((a-\lambda 1)^{-1}) holomorph auf ganz \mathbb C. Sie verschwindet im Unendlichen, denn \lim_{|\lambda|\rightarrow\infty} \|(a-\lambda 1)^{-1}\| = 0 und f ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz \mathbb C gleich 0 sein. Da f\in A' beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass (a-\lambda 1)^{-1}=0, aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Satz von Gelfand-Mazur[Bearbeiten]

Ist die \mathbb C-Banachalgebra A ein Schiefkörper, so ist A \cong {\mathbb C} .

Ist nämlich a\in A, so gibt es nach obigem Lemma ein \lambda\in{\mathbb C}, so dass a-\lambda 1 nicht invertierbar ist. Da 0 das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss a=\lambda 1 sein. Also ist jedes Element von A ein {\mathbb C}-Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Quellen[Bearbeiten]

  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)