Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

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Der Satz von Frobenius, 1877 von Ferdinand Georg Frobenius bewiesen,[1] gehört zum mathematischen Teilgebiet der Algebra. Der Satz besagt, dass es bis auf Isomorphie nur drei endlichdimensionale, assoziative Divisionsalgebren über den reellen Zahlen gibt: selbst, die komplexen Zahlen und die Quaternionen .

Der Satz wurde 1881 unabhängig von Charles Sanders Peirce bewiesen.[2][3][4] Der Satz beschränkt die Existenz assoziativer Divisionsalgebren über den reellen Zahlen also auf die Dimensionen 1, 2 und 4. Der Erfinder der Quaternionen, William Rowan Hamilton, hatte lange nach einer solchen Algebra in drei Dimensionen gesucht, was durch den Satz ausgeschlossen wird. Lässt man die Bedingung der Assoziativität fallen und verlangt Kommutativität, bewies 1940 Heinz Hopf, dass die entsprechenden endlichdimensionalen Divisionsalgebren über maximal die Dimension 2 haben. Es existieren topologische Beweise, dass es Divisionsalgebren über den reellen Zahlen nur mit den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 gibt (siehe Divisionsalgebra).

Von diesen drei Divisionsalgebren sind nur die Quaternionen ein Schiefkörper mit einer nicht-kommutativen Multiplikation. Da und die einzigen endlichdimensionalen, kommutativen und assoziativen Divisionsalgebren über den reellen Zahlen sind, muss zum Beweis des Satzes von Frobenius gezeigt werden, dass die Quaternionen den einzigen endlichdimensionalen nicht-kommutativen Schiefkörper über bilden:

Sei ein endlichdimensionaler nicht-kommutativer Schiefkörper über . Dann gibt es einen -Algebrenisomorphismus .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist bis auf Isomorphie die einzige endliche echte Körpererweiterung von . ist also kein Schiefkörper über und es gilt ( bezeichnet das Zentrum von ).

Folglich enthält einen maximalen Teilkörper mit

Da nicht-kommutativ ist, gilt und .

Es reicht nun, einen -Algebrenhomomorphismus anzugeben, denn die Injektivität folgt dann, da ein einfacher Ring ist, und die Surjektivität folgt aus Dimensionsgründen.

Es ist mit und galoissch über mit Galoisgruppe , wobei

Nach dem Satz von Skolem-Noether[5] gibt es nun ein , sodass . Nun gilt:

  • . Beweis: Es gilt , beziehungsweise . Also folgt und . Da galoissch über ist, folgt .
  • . Beweis: Angenommen . Dann gilt und wegen auch . Widerspruch.

Wir erhalten also eine Darstellung mit . Unser gesuchter -Algebrenhomomorphismus wird nun induziert durch

denn es gilt .

Durch das Betrachten der entsprechenden Gruppentafeln folgt die Behauptung.[6]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Frobenius: Über lineare Substitutionen und bilineare Formen. In: J. Reine Angew. Math. Band 84, 1877, S. 1–63, SUB Göttingen, wieder abgedruckt in Frobenius: Gesammelte Abhandlungen. Band 1, S. 343–405.
  2. Charles Sanders Peirce: Addenda III. On the Algebras in which Division is Unambiguous. Aus Benjamin Peirce: Linear associative algebras. In: American Journal of Mathematics. Band 4, 1881, S. 221–226.
  3. Ein Beweis des Satzes findet sich zum Beispiel in M. Koecher, R. Remmert, Kapitel 7, in: Ebbinghaus u. a.: Zahlen. Springer 1983.
  4. Ein elementarer Beweis stammt von Richard Palais: The classification of real division algebras. In: American Mathematical Monthly. Band 75, 1968, S. 366–368.
  5. Ina Kersten: Brauergruppen. S. 38.
  6. Nach Ina Kersten: Brauergruppen. Siehe Literatur.