Satz von Gelfond-Schneider

Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Er wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon ein Jahr später von Theodor Schneider bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Aussage des Satzes

Es seien $\alpha$ und $\beta$ algebraische Zahlen (mit $\alpha \neq 0,1$). $\beta$ sei darüber hinaus nicht rational.

Dann besagt der Satz von Gelfond-Schneider:

$\,\alpha ^{\beta }$ ist transzendent.

Komplexe Zahlen

Für $\alpha$ und $\beta$ dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt $\alpha ^{\beta }=\exp(\beta \cdot \ln \alpha )$ . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von $2\pi \mathrm {i}$ eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.

Anwendungen

Die Transzendenz der folgenden Zahlen folgt unmittelbar aus dem Satz:

• Die Gelfond-Schneider-Konstante $2^{\sqrt {2}}$ sowie ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$
• Die Gelfond-Konstante $\,e^{\pi }$, da $\,e^{\pi }=e^{\mathrm {i} \pi (-\mathrm {i} )}=(-1)^{-\mathrm {i} }$ . Man beachte, dass $\mathrm {i}$ keine rationale Zahl ist.
• Die reelle Zahl ${\rm {i^{i}}}$, da ${\rm {i^{i}}}=\left(e^{\mathrm {i} \pi /2}\right)^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2}\approx 0{,}207879$

Siehe auch

• Satz von Lindemann-Weierstraß
• Vermutung von Schanuel, die diesen Satz verallgemeinert

Literatur und Links

• Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akedemii Nauk, Moskau 2.1934, S.177-182. ISSN 0002-3264
• Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172.1934, S.177-182. ISSN 0075-4102
• Beweis (auf Englisch) (PDF-Datei; 89 kB)