Satz von Heine-Borel

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Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, nach den Mathematikern Eduard Heine und Émile Borel benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.

Aussage[Bearbeiten]

Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

Für eine Teilmenge \mathcal{M} des \mathbb{R}^{n} (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
  1. \mathcal{M} ist beschränkt und abgeschlossen.
  2. Jede offene Überdeckung von \mathcal{M} enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} anwenden.

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Wichtig hierbei ist, dass der umgebende Raum der \mathbb{R}^{n} mit der euklidischen Metrik ist. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.

Ein einfaches Gegenbeispiel ist die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge X. Die diskrete Metrik ist definiert durch

  • d(x,x) = 0,
  • d(x,y) = 1 für x\neq y, x,y \in X.

In dieser Metrik ist jede Teilmenge von X abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind. Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des \mathbb{R}^{n} genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.

Weblinks[Bearbeiten]

  • Heine Borel (Video, das einen Beweis des Satzes von Heine-Borel illustriert.)