Tupel

Ein Tupel (Suffix von lat. quintuplus ‚fünffach‘, septuplus ‚siebenfach‘, centuplus ‚hundertfach‘ etc.) ist eine endliche Liste, in der, wenn sie nicht leer ist, hintereinander Angaben nicht notwendigerweise voneinander verschiedener mathematischer Objekte stehen. Ist $n$ die Länge der Liste, dann spricht man von einem $n$-Tupel; 2-Tupel nennt man auch geordnete Paare, 3-Tupel Tripel und 4-Tupel Quadrupel. Das an $i$-ter Stelle eines nichtleeren Tupels angegebene Objekt heißt seine $i$-te Komponente. Notiert wird das leere Tupel oft so: $(\,)$ und ein nichtleeres Tupel so: $(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$, auch mit anderen Klammern, wobei $x_i$ seine $i$-te Komponente ist.

Tupel sind durch das Gleichheitsaxiom charakterisiert: Zwei Tupel sind dann und nur dann gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

Darstellung als Menge

In einer strengen Formulierung der Mathematik, in der die Bildung von Mengen, das einzige Prinzip ist, um gegebene Objekte zu gruppieren, läßt sich trotzdem auch die Idee des Tupels nachbilden. Eine einfache Darstellung von $n$-Tupeln lautet:

$n=0:\; () := \emptyset$

$n>0:\; (x_1,\ldots,x_n) := \{(x_1,\ldots,x_{n-1}),\{x_n\}\}$

Mit dieser Darstellung ist das geordnete Paar $\,(x,y)$ die Menge $\{\{\emptyset,\{x\}\},\{y\}\}$.

Die Wirkungsweise dieser Definition lässt sich an folgender Animation nachvollziehen:

Einer anderen Darstellung liegt die Vorstellung zugrunde, dass Tupel endliche Folgen, das heißt Funktionen mit einem eventuell leeren Abschnitt der Menge der positiven natürlicher Zahlen als Indexbereich, sind (geordnete Paare hier in eckigen Klammern):

$n=0:\; () := \emptyset$

$n>0:\; (x_1,\ldots,x_n) := \{[1,x_1],\ldots,[n,x_n]\}$

Nicht leere Tupel können auch rekursiv auf Basis geordneter Paare dargestellt werden (geordnete Paare auch hier in eckigen Klammern):

$n=1:\; (x) := x$

$n>1:\; (x_1,\ldots,x_n) := [(x_1,\ldots,x_{n-1}),x_n]$

Allerdings gilt für auf letztgenannte Weise dargestellte Tupel lediglich eine schwächere Form des Gleichheitsaxioms: Zwei gleichlange Tupel sind dann und nur dann gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

Unabhängig davon, wie Tupel als Mengen dargestellt werden, verhalten sich 2-Tupel genauso wie geordnete Paare und können wie diese verwendet werden, auch wenn sich, wie bei der Tupel-Darstellung als endliche Folge, 2-Tupel- und Paar-Darstellungen unterscheiden.

Die letzte der drei obigen Definitionen hat den Vorteil, dass sie auch für echte Klassen definiert ist, sofern $\,^{[a,b]}$ für echte Klassen definiert ist (vgl. Geordnetes Paar, Definition von Jürgen Schmidt). Das heißt, man kann z. B. das Monoid der Ordinalzahlen $\,^{\Omega}$ mit Addition $\,^{+}$ und neutralem Element $\,^{0}$ als Tupel $\,^{(\Omega, +, 0)}$ definieren, obwohl es sich bei den Ordinalzahlen um keine Menge, sondern um eine echte Klasse handelt.

Verwendungen

Tupel finden in vielen Bereichen Verwendung, in der Mathematik zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder Vektoren in $n$-dimensionalen Räumen, in der Informatik als Daten-Felder und -Strukturen.

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3 (HochschulTaschenbuch).
• Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel – Lern- und Lehrmaterialien