Sinus versus (auch Versinus oder Versus , in Formeln abgekürzt
versin
{\displaystyle \operatorname {versin} }
Kosinus versus (auch Koversinus , in Formeln abgekürzt
coversin
{\displaystyle \operatorname {coversin} }
Trigonometrie heute selten verwendete trigonometrische Funktionen . Semiversus (englisch Haversine , in Formeln abgekürzt
sem
{\displaystyle \operatorname {sem} }
Sinus versus Veranschaulichung am Einheitskreis: Der Sinus versus
C
D
{\displaystyle CD}
Der Sinus versus, in nebenstehender Abbildung in der Farbe Grün eingezeichnet, wird mit Hilfe der Sinus- oder Kosinusfunktion definiert als[1]
versin
(
θ
)
=
1
−
cos
(
θ
)
=
2
sin
2
(
θ
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )=1-\cos(\theta )=2\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right).}
Der Sinus versus kann auf die ganze komplexe Zahlenebene ausgeweitet werden.
Semiversus Der Semiversus ist die Hälfte des Sinus versus:[2]
sem
(
θ
)
=
versin
(
θ
)
2
=
sin
2
(
θ
2
)
{\displaystyle \operatorname {sem} (\theta )={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{2}}=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}
Kosinus versus Der Kosinus versus, in nebenstehender Abbildung in der Farbe Türkis und aus Platzgründen mit cvs bezeichnet, ist der Sinus versus des Gegenarguments:[3]
coversin
(
θ
)
=
versin
(
π
2
−
θ
)
=
1
−
sin
(
θ
)
.
{\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )=\operatorname {versin} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta ).}
Verwandte Funktionen In folgender Tabelle sind die Funktionen Sinus versus und Kosinus versus zusammen mit einigen verwandten trigonometrischen Funktionen und dem grafischen Funktionsverlauf zusammengefasst:
versin
(
θ
)
:=
2
sin
2
(
θ
2
)
=
1
−
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}
vercosin
(
θ
)
:=
2
cos
2
(
θ
2
)
=
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}
coversin
(
θ
)
:=
versin
(
π
2
−
θ
)
=
1
−
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}
covercosin
(
θ
)
:=
vercosin
(
π
2
−
θ
)
=
1
+
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,}
haversin
(
θ
)
:=
versin
(
θ
)
2
=
1
−
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}
havercosin
(
θ
)
:=
vercosin
(
θ
)
2
=
1
+
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,}
hacoversin
(
θ
)
:=
coversin
(
θ
)
2
=
1
−
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,}
hacovercosin
(
θ
)
:=
covercosin
(
θ
)
2
=
1
+
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}
Die Ableitungen und die Stammfunktionen sind:
d
d
x
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}
∫
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}
d
d
x
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}
∫
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
d
d
x
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
−
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}
d
d
x
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}
d
d
x
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
−
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
=
−
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}
d
d
x
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
=
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}
Geschichte und Verwendung Der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie spielte für die nautische Navigation nach den Sternen in früherer Zeit eine wichtige Rolle.[4] [5]
Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten-Kosinussatz zu:
s
e
m
(
a
)
=
s
e
m
(
b
−
c
)
+
sin
(
b
)
⋅
sin
(
c
)
⋅
s
e
m
(
α
)
{\displaystyle {\rm {sem}}(a)={\rm {sem}}(b-c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot {\rm {sem}}(\alpha )}
Literatur Einzelnachweise
↑ Eric W. Weisstein : Versine .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Haversine .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Coversine .MathWorld ↑ Bobby Schenk: Astronavigation: ohne Formeln - praxisnah . 2. Auflage. Delius Klasing & Co., Bielefeld 1978. ↑ Otto Fulst: Nautische Tafeln . Hrsg.: Johannes Lütjen, Walter Stein, Gerhard Zwiebler. 24. Auflage. Arthur Geist Verlag, Bremen 1972, 17-18.
