Stack (Kategorientheorie)

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In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum X sei \mathfrak{Cov}(X) die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen j \colon U \to X sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen i\colon U_1 \to U_2 sind, so dass j_1 = j_2 \circ i gilt.

U^2 \to U
\downarrow \downarrow
U \to V

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)
\downarrow \downarrow
\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U^2)

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

D \to \mathcal{F}(U)
\downarrow \downarrow
\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U^2)

gibt es einen eindeutigen Morphismus \mathrm{Des}(i,\mathcal{F}): \mathcal{F}(V) \to D in der Kategorie \mathfrak{C}.

  • Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe \mathcal{F} lautet: Für jedes i:U \to V ist der Morphismus \mathrm{Des}(i,\mathcal{F}) ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie \mathfrak{Cov}(X) zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

  • Eine gefaserte Kategorie über X in einer 2-Kategorie \mathfrak{C} ist ein kontravarianter 2-Funktor \mathcal{F}: \mathfrak{Cov}(X) \to \mathfrak{C}.
  • Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie \mathcal{F} lautet: Für jeden 1-Morphismus i:U \to V ist der Funktor \mathrm{Des}(i,\mathcal{F}) eine Äquivalenz von Kategorien.
  • Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur[Bearbeiten]