Streng nicht-palindromische Zahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine streng nicht-palindromische Zahl ist eine natürliche Zahl n, die in keinem Stellenwertsystem ein Zahlenpalindrom ist, dessen Basis b im Bereich 2\le b\le n-2 liegt.

Die obere Grenze n-2 für die Größe der Basis ist notwendig, um die Folge nichttrivial zu halten, da

  • jede Zahl n (größer 1) zu jeder Basis b>n als eine einstellige (also auch palindromische) Zahl geschrieben wird;
  • jede Zahl n (größer 2) zur Basis n als 10, also nicht-palindromisch geschrieben wird;
  • jede Zahl n (größer 3) zur Basis n-1 als 11 (palindromisch) geschrieben wird.

Für n\le3 ist die Menge an Basen leer, sodass diese Zahlen trivialerweise ebenfalls streng nicht-palindromisch sind.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispielsweise ist die (Dezimal-)Zahl 6 geschrieben

  • zur Basis zwei: 110,
  • zur Basis drei: 20 und
  • zur Basis vier: 12

Da keine dieser Schreibweisen palindromisch ist, ist 6 streng nicht-palindromisch.

Die Folge der streng nicht-palindromischen Zahlen beginnt mit

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, … [1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Alle streng nicht-palindromischen Zahlen größer 6 sind Primzahlen. Zu jeder zusammengesetzten Zahl n>6 kann eine Basis gefunden werden, zu der n palindromisch ist.

Beweis[Bearbeiten]

  1. Wenn n gerade ist, dann wird n zur Basis \tfrac n2-1 als 22 (palindromisch) geschrieben.
  2. Anderenfalls ist n ungerade und lässt sich als n=p\cdot m schreiben, wobei p der kleinste Primfaktor von n ist. Verständlicherweise ist dann p\le m.
  • Ist dann p=m=3, so ist n=9, was zur Basis 2 als 1001 (palindromisch) geschrieben wird.
  • Ist dann p=m>3, so wird n zur Basis p-1 als 121 (palindromisch) geschrieben.
Anderenfalls ist p<m-1. Der Fall p=m-1 kann nicht eintreten, da sowohl p als auch m ungerade sind.
In diesem Fall wird n als die zweistellige Zahl \rm pp (palindromisch) zur Basis m-1 geschrieben.

In jedem dieser Fälle liegt die Basis b im Bereich 2\le b\le n-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Folge A016038 in OEIS