Ungleichungen in Vierecken

Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. a,b,c,d bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, e,f die Diagonallängen eines Vierecks.

Größen im Viereck

Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:

$a+b+c>d, \quad b+c+d>a, \quad a+c+d>b, \quad a+b+d>c.$

Daraus folgt:

$a^2+b^2+c^2>\frac{d^2}3$

Ptolemäische Ungleichung

In jedem Viereck gilt

$a\cdot c+b\cdot d\geq e\cdot f$.

Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz des Ptolemäus).

Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen

In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:

$\frac{1}{2}(a+b+c+d)<e+f<a+b+c+d$

Vierecksungleichung für Metriken

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung im metrischen Raum:

$\Big| d(x,y) - d(u,v) \Big| \leq d(x,u) + d(v,y)$.

Beweis

Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man:

$d(x,y) \leq d(x,u) + d(u,v) + d(v,y)$ bzw.

$d(u,v) \leq d(u,x) + d(x,y) + d(y,v)$

Unter Verwendung der Eigenschaften von Metriken und absoluten Beträgen gilt dann

$\Big| d(x,y) - d(u,v)\Big| =d(x,y) - d(u,v) \leq d(x,u) + d(u,v) + d(v,y) - d(u,v) = d(x,u) + d(v,y)$

falls $d(x,y) - d(u,v)\geq 0$ gilt bzw. im Fall $d(x,y) - d(u,v)\leq 0$

$\Big| d(x,y) - d(u,v)\Big| =d(u,v) - d(x,y) \leq d(u,x) + d(x,y) + d(y,v) - d(x,y) = d(x,u) + d(v,y)$

Weblinks

 Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien