V-A-Theorie

Die V-A-Wechselwirkung (Abkürzung für Vektor-Axialvektor-Wechselwirkung, gesprochen „V minus A Theorie“) ist ein feldtheoretisches Modell für die schwache Wechselwirkung. Es ist eine Erweiterung von Fermis Strom-Strom-Wechselwirkung, um die 1956 im Wu-Experiment entdeckte Paritätsverletzung erklären zu können. Sie ist eine niederenergetische Approximation für die elektroschwache Wechselwirkung, welche die Wechselwirkung durch Austausch von Eichbosonen (W⁺-, W⁻- und Z⁰-Boson) beschreibt.

Hintergrund

1936 postulierte Fermi seine Theorie zur Beschreibung des Beta-Zerfalls in Form des Hamiltonoperators

${\mathcal {\hat {H}}}_{\mathrm {Fermi} }={\frac {G}{\sqrt {2}}}\int d^{3}r\cdot j_{H}^{\mu }(x)\cdot j_{L\mu }(x)$

• G ist die Kopplungskonstante der schwachen Wechselwirkung.
• $j_{H}^{\mu }(x)$ und $j_{L}^{\mu }(x)$ sind die 4-dimensionalen Stromdichten für Hadronen bzw. Leptonen (in Fermis Theorie nur für die am Beta-Zerfall beteiligten Teilchen Proton, Neutron, Elektron und Elektron-Neutrino).
• Die Stromdichte hängt mit den Feldern zusammen $j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$.

1956 veröffentlichten Tsung-Dao Lee und Chen Ning Yang die Hypothese, der zufolge bei der schwachen Wechselwirkung, im Gegensatz zur starken und zur elektromagnetischen Wechselwirkung, die Parität nicht erhalten bleibt. Dabei hatten sie auch mehrere spezielle Experimente vorgeschlagen. Die Beobachtung gelang Chien-Shiung Wu, wodurch eine Anpassung des bis dahin paritätserhaltenden Stroms nötig wurde.

Ein Jahr darauf entwickelten Richard Feynman, Murray Gell-Mann und unabhängig von ihnen George Sudarshan und Robert Marshak die V-A-Wechselwirkung. Dazu muss in den Hamiltonoperator ein axialer Vektorstrom eingeführt werden, auf den der Paritätsoperator eine andere Wirkung hat als auf polare Ströme. Ein solcher axialer Strom mit paritätsverletzendem Anteil kann geschrieben werden als

$j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(g_{v}-g_{a}\gamma _{5})\psi$

• $\gamma ^{\mu }$ und $\gamma _{5}$ sind Dirac-Matrizen.
• $\gamma _{5}$ transformiert einen polaren in einen axialen Vektor.
• $g_{v}$ und $g_{a}$ sind Koeffizienten, die das Verhältnis zwischen polaren und axialen Vektorströmen angeben.

Leptonen sind Punktteilchen, daher ist $g_{v}=1=g_{a}$. Im Gegensatz dazu sind Hadronen ausgedehnte Teilchen, sie bestehen aus Quarks, daher findet man experimentell $g_{v}=1$ und $g_{a}\approx 1{,}25$.

Der Hamiltonoperator für die V-A-Wechselwirkung ergibt sich zu

${\mathcal {\hat {H}}}_{\mathrm {V-A} }={\frac {G}{\sqrt {2}}}\int d^{3}r\cdot {\bar {\psi }}_{p}\gamma ^{\mu }(1-g_{a}\gamma _{5})\psi _{n}\cdot {\bar {\psi }}_{e}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\psi _{\nu }$

• $\psi _{p}$, $\psi _{n}$, $\psi _{e}$, $\psi _{\nu }$ sind die Proton-, Neutron-, Elektron- und Elektron-Neutrino-Felder.

Um die Theorie auf alle drei Generationen der Elementarteilchen anwendbar zu machen, muss man die Ströme mit den restlichen Teilchen-Feldern erweitern und den Cabibbo-Mischwinkel einführen.

Referenzen

• Walter Greiner, Berndt Müller: Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung. 2. Auflage, Harri Deutsch, 1995, S. 184, ISBN 3-8171-1427-3.