Dirac-Matrizen

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Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Definition[Bearbeiten]

Die Dirac-Matrizen \gamma^0,\,\gamma^1\,,\gamma^2\, und \,\gamma^3\, erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen


\begin{align}
\gamma^0\gamma^0 &= 1\,,&\gamma^1\gamma^1 &= -1\,,&\gamma^2\gamma^2 &= -1\,,&\gamma^3\gamma^3 &= -1\,,\\
\gamma^0\gamma^1 &= -\gamma^1\gamma^0\,, &
\gamma^0\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^0\,, &
\gamma^0\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^0\,, &&\\
\gamma^1\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^1\,, &
\gamma^1\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^1\,, &
\gamma^2\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^2\,. &&
\end{align}

Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

 \{ A , B \} = A\,B + B\,A\,.

In Indexnotation, in der \mu und \nu für Zahlen aus \{0,1,2,3\} stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

 \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2\,\eta^{\mu\nu}I_4\,.

Dabei sind \eta^{\mu\nu} die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1) und  I_4 ist die 4x4 Einheitsmatrix.

Die γ5-Matrix[Bearbeiten]

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

 \gamma^5=\mathrm i\, \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\ .

Sie ist ihr eigenes Inverses,  \gamma^5 \gamma^5 = 1\,, ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, \gamma^5 \gamma^\mu = - \gamma^\mu \gamma^5\,, und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus 4\times 4-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen -\gamma^{\mu\,\text{T}} und die hermitesch adjungierten Matrizen \gamma^{\mu\,\dagger} den Matrizen \,\gamma^\mu\, äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix A und eine Matrix C, so dass

C \gamma^\mu C^{-1}=-\gamma^{\mu\,\text{T}}\ ,\quad
 A \gamma^\mu A^{-1}=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.

Die Matrix A ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix C tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder -1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

\pm 1\,,\, \pm \gamma^\mu\,,\, \pm \gamma^\mu \gamma^\nu\,,\,\mu<\nu\,,\, 
\pm \gamma^\lambda \gamma^\mu \gamma^\nu \,,\,\lambda<\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\,,\,
\text{wobei}\,\lambda,\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}\,.

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass \gamma^0 hermitesch und die drei anderen \gamma-Matrizen antihermitesch sind,

\gamma^{0\,\dagger}=\gamma^0\,,\,\gamma^{1\,\dagger}=-\gamma^1\,,\,\gamma^{2\,\dagger}
=-\gamma^2\,,\,\gamma^{3\,\dagger}=-\gamma^3\,.

In unitären Darstellungen bewirkt A=\gamma^0 die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

 \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.

Mithilfe der Eigenschaften von \gamma^5 kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.


\begin{align}
 \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)
&=
 \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)=
 -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^5\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\bigr)\\
&=
 -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)=
 -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)
\end{align}

Im vorletzten Schritt haben wir dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach \text{Spur}\,(\gamma^5\,B)= \text{Spur}\,(B\,\gamma^5) gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)


\text{Spur}\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
= \frac 1 2 \text{Spur}(\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu +\gamma^\nu\,\gamma^\mu) 
= \frac{2\, \eta^{\mu\nu}}{2} \text{Spur 1} = 4 \,\eta^{\mu\nu}\,.

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei.


\begin{array}{rcl}
    2\,\text{Spur}\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
&=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
    + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa )\\
&=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu 
    + \gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\\
  &&\ \ \ \ -\gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
    - \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu\\
  &&\ \ \ \ +\gamma^\lambda \,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu
    + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa)\\
&=& 2\,\eta^{\kappa\lambda} \text{Spur} (\gamma^\mu\,\gamma^\nu)
    - 2\,\eta^{\kappa\mu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\nu)
    + 2\,\eta^{\kappa\nu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\mu)
\end{array}

Daher gilt :


\begin{array}{rcl}
\text{Spur} \,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
&=& 4\,(\eta^{\kappa\lambda}\,\eta^{\mu\nu} -\eta^{\kappa\mu}\,\eta^{\lambda\nu} +\eta^{\kappa\nu}\,\eta^{\lambda\mu})
\end{array}

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-Gleichung[Bearbeiten]

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

 (i \gamma^\mu \partial_\mu -m) \psi = 0

wobei  \psi ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit  -(i \gamma^\nu \partial_\nu + m) erhält man

 (\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu + m^2) \psi = (\partial^2 + m^2) \psi = 0,

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse m.

Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen[Bearbeiten]

Die sechs Matrizen

\Sigma ^{\mu\nu} = \frac{1}{4}\bigl( \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu\bigr)

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren \psi.

Chiralität[Bearbeiten]

Aus (\gamma^5)^2=1 und \text{Spur}\,\gamma^5=0 folgt, dass die Matrizen


P_L = \frac{1-\gamma^5}{2}\,,\quad
P_R = \frac{1+\gamma^5}{2}

Projektoren sind,

(P_L)^2=P_L\,,\,(P_R)^2=P_R\,,

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

P_L\,P_R=0\,,\ \text{Spur}\,P_L=\text{Spur}\,P_R=2\,,\quad P_L+P_R=1\,.

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil \gamma^5 mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

\gamma^5 \Sigma^{\mu\nu}= \Sigma^{\mu\nu}\gamma^5\,,

sind die Unterräume, auf die P_L und P_R projizieren, invariant unter den von \Sigma^{\mu\nu} erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, \psi_L = P_L \psi und \psi_R = P_R \psi, eines Spinors \psi transformieren getrennt voneinander.

Parität[Bearbeiten]

Wegen \gamma^0\gamma^5\gamma^0 = - \gamma^5 ändert ein Term, der \gamma^5 enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus \overline{\psi}=\psi^\dagger A=\psi^\dagger \gamma^0, Gamma-Matrizen und einem eventuell von \psi verschiedenen Spinor \chi zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

  •  \overline \psi \chi wie ein Skalar,
  •  \overline \psi\gamma^\mu \chi wie die Komponenten eines Vierervektors,
  •  \overline \psi\Sigma^{\mu\nu} \chi wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
  •  \overline \psi\gamma^\mu\gamma^5 \chi wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
  •  \overline \psi\gamma^5 \chi wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-Notation[Bearbeiten]

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen \textstyle \sum_{\mu=0}^3\,\gamma^\mu A_\mu abgekürzt geschrieben als

A\!\!\!/\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu A_\mu.

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

\Bigl( i \partial \!\!\!/\ - \frac{mc}{\hbar} \Bigr)\, \psi(x) = 0\ ,

oder in natürlichen Einheiten

\Bigl( i \partial \!\!\!/\ - m \Bigr)\, \psi(x) = 0\ .

Dirac-Darstellung[Bearbeiten]

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (wir schreiben verschwindende Matrixelemente nicht aus)


\begin{array}{c c}
\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 &  &  &  \\  & 1 &  &  \\  &  & -1 &  \\  &  &  & -1 \end{pmatrix}\,,&
\gamma^1 = \begin{pmatrix}  &  &  & 1 \\  &  & 1 &  \\  & -1 &  &  \\ -1 &  &  &  \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\
\gamma^2 = \begin{pmatrix}  &  &  & -\mathrm i \\  &  & \mathrm i &  \\  &  \mathrm i & & 
\\ -\mathrm i &  &  &  \end{pmatrix}\,, &
\gamma^3 = \begin{pmatrix}  &  & 1 &  \\  &  &  & -1 \\ -1 &  &  &  \\  & 1 &  &  \end{pmatrix} \,.
\end{array}

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine 2 \times 2-Matrix):

 
\gamma^0 = \begin{pmatrix} 
  1  &  \\
     & -1
\end{pmatrix}\,,\quad 
\gamma^i = \begin{pmatrix} 
         & \sigma^i \\
 -\sigma^i & 
\end{pmatrix}\, ,\;i\in\{1,2,3\}\,,\quad
\gamma^5 = \begin{pmatrix}
  & 1 \\
 1 & 
\end{pmatrix}\,.

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:


\gamma^0=\sigma^3\otimes 1,\quad \gamma^i=\mathrm i \sigma^2\otimes\sigma^i, \;i\in\{1,2,3\} , \quad \gamma^5=\sigma^1\otimes1

Weyl-Darstellung[Bearbeiten]

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist \gamma^5 diagonal,


\gamma^5 = \begin{pmatrix}
 -1 &  \\
  & 1
\end{pmatrix}\,,\quad
P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix}
 1 &  \\
  & 0
\end{pmatrix}\,,\quad
P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix}
 0 &  \\
  & 1
\end{pmatrix}\,.

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden \gamma^0 und \gamma^5 verändert, die räumlichen \gamma-Matrizen bleiben unverändert:

\gamma^0 = \begin{pmatrix}
  & 1 \\
 1 & 
\end{pmatrix}\,,\quad
\gamma^i = \begin{pmatrix}
  & \sigma^i \\
 - \sigma^i & 
\end{pmatrix}\,,\quad
\gamma^5 = \begin{pmatrix}
 -1 &  \\
  & 1
\end{pmatrix}

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,


\gamma^\mu_{\text{Weyl}}=U\,\gamma^\mu_{\text{Dirac}}U^{-1}\text{ mit }
U=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix},\ 
U^{-1}=U^\dagger=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & 1
\end{pmatrix}\,.

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-Darstellung[Bearbeiten]

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,


\begin{align}
\gamma^{0} &= \begin{pmatrix}
  & -\sigma^2 \\
 -\sigma^2 & 
\end{pmatrix}\,,&
\gamma^{1} &= \begin{pmatrix}
  &\mathrm  i\sigma^3 \\
\mathrm i\sigma^3 & 
 \end{pmatrix}\,,&\\
&\, & &\\
\gamma^{2}&= \begin{pmatrix}
\mathrm  i &  \\
  & -\mathrm i
\end{pmatrix}\,,&
\gamma^{3} &= \begin{pmatrix}
  & -\mathrm i\sigma^1 \\
 -\mathrm i\sigma^1 & 
\end{pmatrix}\,,&
\gamma^{5} &= \begin{pmatrix}
  & \mathrm i \\
 -\mathrm i & 
\end{pmatrix}\,.
\end{align}

Literatur[Bearbeiten]

  • James Bjorken und Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
  • Michael Peskin and Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
  • Josef-Maria Jauch and Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
  • Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253-290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)