Vielfach-Zetafunktion

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In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch


\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}},
\!

Obige Reihe konvergiert wenn Re(s1)+...+Re(si) > i für alle i, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf \mathbb C^n definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige s1, ..., sk mit s1>1 werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt n=s1+ ...+ sk das "Gewicht" und k die "Länge" des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für 1<s\in\mathbb Z:

\zeta(s,1)=\frac{1}{2}s\zeta(s+1)+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{s-1}\zeta(k)\zeta(s+1-k).

Zum Beispiel ist \zeta(2,1)=\zeta(3).

Allgemein kann man, wenn m+n ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion \zeta(m,n) als rationale Linearkombination von \zeta(m+n) und \zeta(k)\zeta(m+n-k) mit k\in\mathbb N darstellen.

Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über \mathbb Z unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als \mathbb Q\left[\frac{1}{2\pi i}\right]-Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen.[1] Für den Spezialfall des durch den Modulraum {\mathcal{M}}_{0,n} von Kurven des Geschlechts 0 mit n markierten Punkten und die relative Kohomologie H^l(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}-A,B-B\cap A) definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen.[2] Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.[3]

Literatur[Bearbeiten]

  1. Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives
  2. Brown: Multiple zeta values and periods of moduli spaces, Annales Scientifiques de l´ENS, Band 42, 2009, S. 371-489, Abstract
  3. Brown: Mixed Tate motives over Z

Weblinks[Bearbeiten]

Deligne: "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points" (PDF; 4,4 MB) erklärt den Zusammenhang zwischen gemischten Tate-Motiven und Vielfach-Zetafunktionen.