Wahrscheinlichkeitsnetz

Das Wahrscheinlichkeitsnetz oder Wahrscheinlichkeitspapier gehört zu den mathematischen Papieren. Mit einem Wahrscheinlichkeitspapier kann man die Daten eines statistischen Merkmals daraufhin untersuchen, ob ihnen eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung zu Grunde liegt. Es ist mit einem Koordinatennetz versehen, in dem auf der Abszisse die Quantile der Verteilung äquidistant, dagegen auf der Ordinate die dazugehörigen Funktionswerte der Verteilung in linearisierter Form abgetragen sind. Beim Eintragen der Wertepaare (Quantil, Verteilung) erhält man so eine Gerade.

Das Wahrscheinlichkeitsnetz ist ein herkömmliches Hilfsmittel, das vor allem vor Einführung der elektronischen Datenverarbeitung breite Anwendung fand, um einigermaßen schnell und effizient eine Verteilungsüberprüfung von Daten zu erreichen. Allgemein bekannt ist vor allem das Wahrscheinlichkeitsnetz der Normalverteilung, aber auch die Weibull-Verteilung wird in Wahrscheinlichkeitsnetzen dargestellt.

Die Normalverteilung im Wahrscheinlichkeitsnetz

Auf der Abszisse werden die Quantile x einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen abgetragen, ebenso auf der Ordinate. Auf der Ordinate werden aber nicht die Werte von x, sondern deren Verteilungsfunktionswerte

$\Phi (x)={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{{t^{2}} \over {2}}}\,\mathrm {d} t$

angezeigt. Ordnet man auf der Ordinate die Skalenstriche so an, dass rechnerisch die Abstände zwischen den Verteilungsfunktionswerten gleich groß sind, erhält man das typische Muster des Gaußschen Wahrscheinlichkeitsnetzes.

Durch diese Linearisierung ergibt sich für die Wertepaare $(x;\Phi (x))$ eine Gerade. Wahrscheinlichkeitspapier ermöglicht also ein einfaches Zeichnen einer solchen Funktion, beziehungsweise die einfache Prüfung, ob gegebene Wertepaare zu einer Normalverteilung passen (sie müssen dann auf einer Geraden liegen).

Als Beispiel ist nachfolgend die Funktion für den Mittelwert μ = 100 und die Streuung σ = 20 auf Wahrscheinlichkeitspapier gezeichnet.

Praktische Anwendung am Beispiel der Normalverteilung

Praktisch wird so vorgegangen, dass die $n$ erhobenen Beobachtungswerte $x_{i}$ der Größe nach geordnet werden. Den geordneten Werten ($x_{[i]}$) werden dann die dazugehörigen Werte einer empirischen Verteilungsfunktion zugeordnet. Zur Bestimmung der empirische Verteilungsfunktion gibt es verschiedene Vorschläge bzw. Schätzformeln, z. B.

$F(x_{i})={\frac {3i-1}{3n+1}}$ nach Rossow

$F(x_{i})={\frac {i-0{,}375}{n+0{,}25}}$ nach Blom

$F(x_{i})={\frac {i-0{,}5}{n}}$ 

$F(x_{i})={\frac {i}{n+1}}$ nach Weibull sowie Gumbel

Ergibt sich aus den Wertepaaren annähernd eine Gerade, kann für die Grundgesamtheit der Daten eine Normalverteilung vermutet werden. Schätzungen für die Parameter Median und Standardabweichung können direkt aus dem Wahrscheinlichkeitspapier abgelesen werden.

Literatur

• Hartung, Joachim ; Elpelt, Bärbel ; Klösener, Karl-Heinz: Statistik, München 2002
• Chambers, J. M. ; Cleveland, W. S. ; Kleiner, Beat ; Tukey, Paul A. : Graphical Methods for Data Analysis, Wadsworth, 1983.
• Sachs, Lothar ; Hedderich, Jürgen : Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R. Springer 2009.