Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet, um anzugeben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse, insbesondere die möglichen Werte einer Zufallsvariablen, verteilen. Sie erfassen bzw. quantifizieren den Zufall in einem stochastischen Vorgang. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung das theoretische Pendant zur Häufigkeitsverteilung, die in der deskriptiven Statistik aus empirischen Daten, also Messwerten erstellt wird.

Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, die sich auf eine endliche oder abzählbare Menge konzentrieren, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die sich auf größere Bereiche erstrecken und bei denen einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit 0 haben. Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung, die die Anzahl der Erfolge beim Ziehen aus einer Urne mit bzw. ohne Zurücklegen beschreiben, sowie die Poisson-Verteilung, die sich aus der Binomialverteilung ergibt, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit immer weiter reduziert und gleichzeitig die Anzahl der Ziehungen um denselben Faktor erhöht.

Die Normalverteilung ist ein prototypischer Vertreter von stetigen Verteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. deren Graph wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt. Mittels Normalverteilung lassen sich viele reale Situationen näherungsweise beschreiben; sie hat nützliche mathematische Eigenschaften.

Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch wahrscheinlichkeitstheoretisch genannt. Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)Wahrscheinlichkeitsraumes zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind.

Wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische Eigenschaften sind der Erwartungswert und die stochastische Unabhängigkeit.

Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet man unter anderem

• Wahrscheinlichkeitsfunktionen,
• Dichtefunktionen,
• Verteilungsfunktionen und
• Wahrscheinlichkeitsmaße.

Der mathematisch allgemeinste Begriff, der nicht nur diskrete und stetige Verteilungen, sondern auch Mischungen von solchen umfasst und für beliebige Ergebnismengen Gültigkeit besitzt, ist das Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h. eine Funktion $\mu$, die jedem Ereignis $A$ eine Wahrscheinlichkeit $\mu(A)$ zuordnet. In der Wahrscheinlichkeitstheorie versteht man unter der Verteilung einer Zufallsvariable $X$ das Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu(A) = P(X\in A)$, welches die Wahrscheinlichkeiten erfasst, mit denen die Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt (Bildmaß von $X$).

Diskrete Verteilungen lassen sich durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder Zähldichte) $\rho(x)$ beschreiben, die die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte $x$ angibt. Der Zusammenhang zum Wahrscheinlichkeitsmaß ergibt sich aus $\rho(x) = \mu(\{x\})$ bzw. $\rho(x) = P(X = x)$.

Die Wahrscheinlichkeiten für beliebige Ereignisse $A$ erhält man als Summen:

$P(X \in A) \, = \, \sum_{x\in A} \rho(x)$    bzw.    $\mu(A) \, = \, \sum_{x\in A} \rho(x)$

Bei stetigen Verteilungen lassen sich Wahrscheinlichkeiten nicht als Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen, da für stetige Zufallsvariablen $X$ stets $P(X=x) = 0$ gilt. Sie lassen sich jedoch oft als Integrale über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) $f(x)$ darstellen (stetige Verteilungen im engeren Sinne):

$P(a \le X \le b) \, = \, \int_a^b f(x)\,dx$    bzw.    $\; \mu([a,b]) \, = \, \int_a^b f(x)\,dx$

Verteilungen auf den reellen Zahlen können allgemein durch die (kumulative) Verteilungsfunktion (engl. cumulative distribution function, cdf) $F(x)$ beschrieben werden. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt:

$F(x) \, = \, P(X \le x)$

bzw.

$F(x) \, = \, \mu\left(\left]-\infty, x\right]\right)$

Wenn die Verteilungsfunktion differenzierbar ist, ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der Verteilung.

Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Drei Glockenkurven (Dichtefunktion normalverteilter Zufallsgrößen)

Dichten verschiedener beta-verteilter Zufallsgrößen

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden $m$ und $n$

Die meisten Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich bei großer Stichprobe zur Normalverteilung überleiten. Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet.

Über der gesamten Zahlengeraden:

• Normalverteilung (Gauß-Verteilung, Glockenkurve, siehe Bild)
• Cauchy-Verteilung (Lorentz-Verteilung)
• Crystal-Ball-Funktion
• Extremwertverteilung
• Fisher-Tippett-Verteilung
• Fishersche z-Verteilung
• Gumbel-Verteilung
• Laplace-Verteilung (Doppelexponentialverteilung)
• Lévy-Verteilung
• Logistische Verteilung
• Rayleigh-Verteilung
• Rossi-Verteilung
• Studentsche t-Verteilung

Für konvexe Kombinationen mehrerer Verteilungen siehe Mischverteilung, ihr Sonderfall ist die

• Kontaminierte Normalverteilung

Über einem endlichen Intervall $[a,b]$, im einfachsten Fall [0,1]:

• Betaverteilung (siehe Bild)
• Dreiecksverteilung (Simpson-Verteilung)
• Stetige Gleichverteilung (Rechteck- oder Uniformverteilung)

Über einem halbseitig unendlichen Intervall, üblicherweise als [0,∞] angenommen:

• χ²-Verteilung
• Erlang-Verteilung
• Exponentialverteilung
• F-Verteilung (siehe Bild)
• Gammaverteilung
• Inverse Normalverteilung (Inverse Gauß-Verteilung, Wald-Verteilung)
• Logarithmische Gammaverteilung
• Logarithmische Normalverteilung
• Pareto-Verteilung, Verschobene Pareto-Verteilung
• Weibull-Verteilung

Verteilungsklassen

Eine Verteilungsklasse oder Verteilungsfamilie besteht aus Verteilungen gleichen Typs. Man teilt sie anhand unterschiedlicher mathematischer Eigenschaften ein. Weiterhin wird noch zwischen parametrischen und nichtparametrischen Klassen unterschieden.

Zur Klasse der parametrischen Klassen gehört die Exponentielle Familie. Sie vereinigt:

• Normalverteilung
• Binomialverteilung
• Multinomialverteilung
• Poisson-Verteilung
• Gammaverteilung
• Inverse Normalverteilung

Die Familie der Beta-Verteilungen wird „die zur Binomial-Verteilung konjugierte Verteilungsklasse“ genannt.

Die Panjer-Verteilung vereint Negative Binomialverteilung, Binomialverteilung und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse.

Man sondiert die Verteilungsfamilie auch mit einem monotonen Dichtequotienten, die Dominierte Verteilungsfamilie, und Alpha-stabile Verteilungen auf Grund von verschiedenen Aspekten.

Siehe auch

• Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Alpha-stabile Verteilungen
• Heavy-tailed-Verteilung
• Boltzmann-Verteilung

Literatur

• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9

Weblinks

 Wikibooks: Einführung in Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

• Interaktive graphische Darstellungen verschiedener Wahrscheinlichkeitsfunktionen bzw. Dichten (Uni Konstanz)
• Katalog der Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Gnu Scientific Library.
• Numerische Berechnung und Darstellung von Dichten und Verteilungsfunktionen einiger wichtiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Weitere Verteilungen aus dem Wiki der Uni Frankfurt (Version vom 30. Mai 2009 im Internet Archive)