Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen, die beispielsweise zur Beschreibung von Lebensdauern und Ausfallhäufigkeiten von elektronischen Bauelementen oder (spröden) Werkstoffen (etwa in der Qualitätssicherung), aber auch für die statistische Untersuchung von Windgeschwindigkeiten verwendet wird. Benannt ist sie nach dem schwedischen Ingenieur und Mathematiker Waloddi Weibull.

Die Weibull-Verteilung kann zur Beschreibung steigender, konstanter und fallender Ausfallraten technischer Systeme verwendet werden. In der Praxis ist die Weibull-Verteilung neben der Exponentialverteilung, welche ein Spezialfall der allgemeineren Weibull-Verteilung ist, die am häufigsten verwendete Lebensdauerverteilung.

Definition

Dichtefunktion

Dichtefunktion für verschiedene Formparameter k

Die Dichtefunktion der Weibull-Verteilung ist:

$f(x) = \lambda \cdot k \cdot (\lambda \cdot x)^{k-1} \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}$

mit $x \geq 0$ als statistische Variable. Wird eine Abhängigkeit von der Zeit beschrieben, so ist hierfür auch die Bezeichnung $t$ üblich.

$\lambda > 0$ ist der Skalierungsfaktor, der in manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten, durch seinen Kehrwert, die charakteristische Lebensdauer $T$, ersetzt wird:

$T = \frac{1}{\lambda}$.

$T$ ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % Einheiten ausgefallen sind. Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

Der Parameter $k \geq 0$ ist der Formfaktor der Verteilung (in manchen Anwendungen auch als Weibull-Modul bezeichnet und mit $b$ oder $\beta$ abgekürzt) mit einem in der Praxis typischen Wertebereich zwischen $0{,}25 \leq k \leq 5$. Er beeinflusst unter anderem die Streuung: Je größer $k$, desto geringer die Streuung.

Durch den Formfaktor $k$ lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

• Für $k = 1$ ergibt sich die Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate.
• Für $k = 2$ ergibt sich die Rayleigh-Verteilung.
• Für $k \approx 3{,}602$ ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender Schiefe (ähnlich der Normalverteilung).

Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion für verschiedene Formparameter k

Die Verteilungsfunktion, welche in Bezug zur Lebensdauer eine Ausfallwahrscheinlichkeit beschreibt, lautet

$F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}$

für $x \geq 0$ und den oben definierten Parametern $\lambda$ und $k$.

Die Zuverlässigkeit $R(x)$ (im Zusammenhang mit der Lebensdauer auch als Überlebenswahrscheinlichkeit bezeichnet) ist gegeben als:

$R(x) = 1 - F(x)$.

Die Ausfallrate $h(x)$ ist gegeben als:

$h(x) = \frac{f(x)}{R(x)} = \lambda \cdot k \cdot (\lambda \cdot x)^{k-1}$.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist

$\operatorname{E}(X)= \frac{1}{\lambda} \cdot \Gamma\left(1 + \frac{1}{k} \right)$

mit der Gammafunktion $\Gamma$.

Varianz

Die Varianz der Verteilung ist

$\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]$.

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist

$\operatorname{v}(X) = \frac{\Gamma(1+3/k) / \lambda^3 - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Anwendungen

Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen, wie beispielsweise technische Komponenten, lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine „Badewannen-Kurve“ darstellen lässt.. Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab:

• Frühausfälle mit $k < 1$, beispielsweise in der Einlaufphase
• Zufällige Ausfälle mit $k = 1$ in der Betriebsphase
• Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit $k > 1$

Weibullnetz

Weibullnetz

Trägt man die Verteilung in der Form

$\ln\left(\ln{\frac{1}{1-F(x)}}\right)=k \cdot \ln(x) - k \cdot \ln(T)$

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter $k$ leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer $T$ kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

$T=\mathrm{e}^{-\left(\displaystyle\frac{a}{k}\right)}$.

Hierbei bezeichnet $a$ den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit $t_0$ Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

$F(t)=1-\mathrm{e}^{-\left(\displaystyle\frac{t-t_0}{T-t_0}\right)^{\displaystyle k}}$

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert $t_0$, so geht die Kurve in eine Gerade über.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Man sieht, dass der Fall $k = 1$ die Exponentialverteilung $\operatorname{Exp}(\lambda)$ ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate $\lambda$. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender ($k>1$) oder fallender ($k<1$) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Ist der Parameter $k>1$, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
• Besitzt $X$ eine Exponentialverteilung $\operatorname{Exp}(\lambda)$ mit Parameter $\lambda$, dann besitzt die Zufallsvariable $Y := X^{1/k} ~(k>0)$ eine Weibull-Verteilung $\operatorname{Wei}(\lambda^{1/k}, k)$. Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von $Y$:
  $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0$.
  Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte Exponentialfunktion

Die Funktion

$1 - F(x) = \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}$

wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.

Siehe auch

• Mortalität
• Extremwerttheorie

Literatur

• Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
• Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung. Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
• Holger Wilker: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte. BoD, Norderstedt 2004.

Weblinks

 Commons: Weibull-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Weibull-Verteilung in der Zuverlässigkeitsanalyse
• Weibull-Verteilung und deren Anwendung bei Keramiken
• Praktikumsanleitung zur Bestimmung der Weibull-Verteilung bei Keramiken

Quellen

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | Extremwert | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen | multinomial | Dirichlet compound multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Invers Wishart | Matrix-normal | Wishart