Weibull-Verteilung

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Die Weibull-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Bei geeigneter Wahl ihrer zwei Parameter ähnelt sie einer Normalverteilung, einer Exponentialverteilung oder anderen asymmetrischen Verteilungen. Für die Modellierung der statistischen Verteilung von Windgeschwindigkeiten wird sie gerne herangezogen. Anders als eine Normalverteilung berücksichtigt sie die Vorgeschichte eines Objekts, ist sie gedächtnisbehaftet. Beispielsweise altert ein Bauelement nicht nur mit der Zeit, sondern in Abhängigkeit von seinem Einsatz. Die Weibull-Verteilung beschreibt die Lebensdauer und Ausfallhäufigkeit von elektronischen Bauelementen oder (spröden) Werkstoffen. Sie lässt sich an steigende, konstante und fallende Ausfallraten technischer Systeme anpassen. Benannt ist sie nach dem schwedischen Ingenieur und Mathematiker Waloddi Weibull.

Definition[Bearbeiten]

Die Weibull-Verteilung hat zwei Parameter.

Skalen-Parameter[Bearbeiten]

Der Skalierungsparameter, Skalenparameter oder Skalierungsfaktor ist \lambda > 0.

In manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten wird er durch seinen Kehrwert, die charakteristische Lebensdauer T ersetzt. T ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % Einheiten ausgefallen sind. Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

T\cdot\lambda = 1.

Wird kein Skalen-Parameter angegeben, so ist implizit \lambda = 1 gemeint.

Form-Parameter[Bearbeiten]

Der Formparameter oder Gestaltparameter oder Weibull-Modul ist der Parameter k > 0.

Alternativ werden gerne die Buchstaben b oder \beta verwendet.

In der Praxis typische Werte liegen im Bereich 0{,}25 \leq k \leq 5.

Durch den Formparameter k lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

Dichte, Verteilung etc.[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Weibull-Verteilung mit Parametern \lambda, k > 0.

Dichtefunktion für verschiedene Formparameter k

Die Dichtefunktion ist:

f(x) = \lambda \cdot k \cdot (\lambda  \cdot x)^{k-1} \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}
Verteilungsfunktion F(x) für verschiedene Formparameter k

Die Verteilungsfunktion ist:

F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}

Die Zuverlässigkeit oder Überlebenswahrscheinlichkeit ist:

R(x) = 1 - F(x) = \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}

Die Ausfallrate ist:

 h(x) = \frac{f(x)}{R(x)} = \lambda \cdot k \cdot (\lambda \cdot x)^{k-1}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist

\operatorname{E}(X)= \frac{1}{\lambda} \cdot \Gamma\left(1 + \frac{1}{k} \right)

mit der Gammafunktion \Gamma.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz der Verteilung ist

\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1+\frac{1}{k}\right)\right].

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe der Verteilung ist

\operatorname{v}(X) = \frac{\Gamma(1+3/k) / \lambda^3 - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}

mit dem Mittelwert \mu = \operatorname{E}(X) und der Standardabweichung \sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

\frac{(k-1)\gamma}{k} - \ln(\lambda k) + 1

wobei \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Anwendungen[Bearbeiten]

Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen, wie beispielsweise technische Komponenten, lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine „Badewannen-Kurve“ darstellen lässt.[1]. Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab:[2]

  • Frühausfälle mit k < 1, beispielsweise in der Einlaufphase
  • Zufällige Ausfälle mit k = 1 in der Betriebsphase
  • Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit k > 1

In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie allerdings als RRSB-Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet) bezeichnet.

Weibullnetz[Bearbeiten]

Weibullnetz

Trägt man die Verteilung in der Form

\ln\left(\ln{\frac{1}{1-F(x)}}\right)=k \cdot \ln(x) - k \cdot \ln(T)

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter k leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer T kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

T=\mathrm{e}^{-\left(\displaystyle\frac{a}{k}\right)}.

Hierbei bezeichnet a den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit t_0 Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

F(t)=1-\mathrm{e}^{-\left(\displaystyle\frac{t-t_0}{T-t_0}\right)^{\displaystyle k}}

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert t_0, so geht die Kurve in eine Gerade über.


Windgeschwindigkeit[Bearbeiten]

Windgeschwindigkeitshäufigkeiten.

Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten (grün). Ein Gauß-Fit (blau) nähert sich den Zahlen nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten, noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibullverteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den Fitparametern λ (1/5,1= 0,194) und k (2,00) folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten]

  • Man sieht, dass der Fall k = 1 die Exponentialverteilung \operatorname{Exp}(\lambda) ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate \lambda. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (k>1) oder fallender (k<1) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
  • Ist der Parameter k>1, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
  • Besitzt X eine Exponentialverteilung \operatorname{Exp}(\lambda) mit Parameter \lambda, dann besitzt die Zufallsvariable Y := X^{1/k} ~(k>0) eine Weibull-Verteilung \operatorname{Wei}(\lambda^{1/k}, k). Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von Y:
    F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0.
    Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Die Funktion

1 - F(x) = \mathrm{e}^{-(\lambda \cdot x)^k}

wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
  • Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung. Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
  • Holger Wilker: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte. BoD, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-6241-5.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Weibull-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Quellen[Bearbeiten]

  1. Siehe auch:en:Exponentiated Weibull distribution
  2. Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. 3. Auflage. VDA, Frankfurt a. M. 2000, ISSN 0943-9412, Abschnitt 2.4.3. (Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie 3)