Wesentliche Erweiterung

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Der Begriff der wesentlichen Erweiterung stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie, genauer aus der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich dazu benötigt, injektive Hüllen zu definieren.

Definition[Bearbeiten]

Sei R ein kommutativer Ring mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement und seien M und N zwei R-Moduln mit

M\subseteq N.

Dann heißt N wesentliche Erweiterung von M, wenn für jeden R-Untermodul U von N mit  U \ne 0 gilt:

U\cap M\ne 0.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Sind M und N zwei R-Moduln mit M\subseteq N\,. Dann gibt es einen Untermodul E von N, der maximale wesentliche Erweiterung von M in N ist. Ist N ein injektiver Modul, so ist auch E injektiv.

Wesentliche Erweiterungen graduierter Moduln über graduierten Ringen werden analog definiert.

Literatur[Bearbeiten]

  • David Eisenbud: Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, no. 150, Springer Verlag, New York 2004, S.628,631. ISBN 0-387-94269-6