Modul (Mathematik)

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Ein Modul [ˈmoːdul] (Maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln]) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement[Bearbeiten]

In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper“ durch „Ring“ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring (R, +, \cdot) mit Einselement ist eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einer Abbildung

R\times M\to M,\quad(r,m)\mapsto r\cdot m („Multiplikation mit Skalaren“),

so dass gilt:

r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m
(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m
r\cdot (m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2

Fordert man zusätzlich noch 1\cdot m=m, so nennt man den Modul unitär.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche Gruppen[Bearbeiten]

Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer \mathbb{Z}-Modul: Wegen

1\cdot m=m

sind höchstens

k\cdot m=\underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-mal}} \cdot m=\underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-mal}}

und analog

(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-mal}}

(für natürliche Zahlen k) denkbar. Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung. (Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben).

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst[Bearbeiten]

Sei K[X] der Polynomring über einem Körper K. Dann entsprechen die K[X]-Moduln eins-zu-eins den Paaren (V, A) bestehend aus einem K-Vektorraum V und einem Endomorphismus A von V:

  • Sei M ein K[X]-Modul. Wir stellen fest, dass M auch ein K-Vektorraum ist, da K in K[X] eingebettet ist. Sei V dieser Vektorraum. Das zu M gehörige Paar ist nun (V, A), wobei A durch
V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.
gegeben ist.
  • Zu einem Paar (V, A) definieren wir eine K[X]-Modulstruktur durch
X \cdot v := Av
und setzen das K-linear auf K[X] fort, d.h. für alle

p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X] setzen wir

p(X)\cdot v:=p(A) v:=a_0 v + a_1\cdot Av + a_2\cdot A^2v + \dotsb + a_n\cdot A^nv.

Ringideale[Bearbeiten]

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von R (da R in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring[Bearbeiten]

Es sei R ein Ring. Ist R nicht kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer Abbildung

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle r,r_1,r_2 \in R,\,  m,m_1,m_2 \in M gilt

(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m und
r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2,

und für die

r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m für alle r_1,r_2\in R,\ m\in M

gilt. Wird vorausgesetzt, dass R ein unitärer Ring ist, so fordert man meist auch, dass der R-Linksmodul M unitär ist, d. h.

1 \cdot m = m für alle m \in M.

Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,

so dass

(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2) für alle r_1,r_2\in R,\ m\in M.

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring ist unitär, wenn

m \cdot 1 = m für alle m \in M gilt.

Ist R kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von R-Moduln.

Alternative Definitionen[Bearbeiten]

  • Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
R \to \mathrm{End}_\Z(M).
Dabei ist \mathrm{End}_\Z(M) der Ring der Endomorphismen von M mit der Verkettung als Produkt:
(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m)) für f_1, f_2 \in \mathrm{End}_\Z(M), m \in M.
  • Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
R \to (\mathrm{End}_\Z(M))^\mathrm{op}.
Dabei sei (\mathrm{End}_\Z(M))^\mathrm{op} der Gegenring des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von M mit der Rechtsverkettung als Produkt:
(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m)) für f_1, f_2 \in (\mathrm{End}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M.

Bimoduln[Bearbeiten]

Es seien R und S Ringe. Dann ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer R-Linksmodul- und einer S-Rechtsmodulstruktur, so dass

(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s) für r\in R,s\in S,m\in M

gilt.

Alternativ ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem Ringhomomorphismus

R\times S^{\mathrm{op}}\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.

Moduln über einer assoziativen Algebra[Bearbeiten]

Ist R ein kommutativer Ring und A eine assoziative R-Algebra, so ist ein A-Linksmodul ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus

A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,

so dass

a_1(a_2m)=(a_1a_2)m für a_1,a_2\in A,m\in M

gilt.

Ein A-Rechtsmodul ist ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus

M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,

so dass

(ma_1)a_2=m(a_1a_2) für a_1,a_2\in A,m\in M

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra[Bearbeiten]

Es sei \mathfrak g eine Lie-Algebra über einem Körper K. Ein \mathfrak g-Modul oder eine Darstellung von \mathfrak g ist ein K-Vektorraum M zusammen mit einer K-bilinearen Abbildung

\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto Xm = X \cdot m,

so dass

[X,Y]m=XYm-YXm für X,Y\in\mathfrak g,m\in M

gilt.

Alternativ ist ein \mathfrak g-Modul ein K-Vektorraum M zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über K

\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);

dabei ist \mathfrak{gl}(M) die K-Algebra der Endomorphismen von M mit dem Kommutator als Lieklammer.

\mathfrak g-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von \mathfrak g.

Moduln über einer Gruppe[Bearbeiten]

Es sei (G, *) eine Gruppe. Ein G-Modul oder genauer G-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung

G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto gm := g \cdot m,

so dass

g(m_1 + m_2) = gm_1 + gm_2 für alle g \in G, m_1, m_2 \in M

und

(g_1 * g_2)m = g_1(g_2m) für alle g_1, g_2 \in G, m \in M

sowie

em = m für das neutrale Element e von G und für alle m \in M

gilt.

Ein G-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

m(g_1 * g_2)=(mg_1)g_2 für alle g_1, g_2 \in G, m \in M

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein G-(Links-)Modul eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G \to \mathrm{Aut}_\Z(M),

dabei ist \mathrm{Aut}_\Z(M) = (\mathrm{End}_\Z(M))^\times die Gruppe der Automorphismen von M mit der Verknüpfung

(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m)) für f_1, f_2 \in \mathrm{Aut}_\Z(M), m \in M.

Ein G-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G \to (\mathrm{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},

das Produkt auf (\mathrm{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op} ist durch

(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m)) für f_1, f_2 \in (\mathrm{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M

gegeben.

Ist R weiter ein Ring, so ist ein G-R-Modul eine abelsche Gruppe mit einer R-Modul- und einer G-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

r(gm) = g(rm) für r \in R, g \in G, m \in M.

Alternativ ist ein G-R-Modul ein R-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G \to \mathrm{Aut}_R(M),

dabei ist G \to \mathrm{Aut}_R(M) die Gruppe der Automorphismen von M als R-Modul.

G-R-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring R[G].

Ist K speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des G-K-Moduls mit dem der K-linearen Darstellung von G überein.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

http://www.mathematik-netz.de/pdf/Moduln.pdf Alexander Hölzle: Einführung in die Modultheorie.

Literatur[Bearbeiten]