Wesentliches Spektrum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das wesentliche Spektrum oder essentielle Spektrum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Es wird in der Literatur nicht einheitlich definiert. Alle Definitionen haben jedoch gemein, dass das wesentliche Spektrum eine Teilmenge des Spektrums eines linearen Operators ist, bei dem Punkte, die als "gutartig" angesehen werden, entfernt wurden.

Definition[Bearbeiten]

Eine mögliche Definition lautet: Sei A ein linearer Operator auf einem Hilbertraum, dann besteht das wesentliche Spektrum \sigma_{ess}(A) von A aus allen \lambda\in \mathbb{C}, für die  A-\lambda I kein Fredholm-Operator ist. Es ist damit eine Verallgemeinerung des Eigenwertbegriffs.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das wesentliche Spektrum ist invariant unter Störungen mit einem kompakten Operator K. Es gilt also  \sigma_{ess}(A)=\sigma_{ess}(A+K).

Für einen normalen Operator A auf einem Hilbertraum gehört \lambda genau dann zu \sigma_{ess}(A), wenn \lambda kein isolierter Eigenwert endlicher Vielfachheit ist. Alternativ kann das wesentliche Spektrum auch als das gewöhnliche Spektrum des Bildes des Operators A in der Calkin-Algebra definiert werden.

Literatur[Bearbeiten]