Wiener-Filter

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Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt [1] und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.[2] Es führt eine optimale Rauschunterdrückung durch.

Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links Original. Mitte Bild mit Rauschen. Rechts gefiltertes Bild)

Eigenschaften[Bearbeiten]

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:[3]

  1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
  2. Fehlerkriterium: Minimale quadratische Abweichung

Modelleigenschaften[Bearbeiten]

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal s\left(t\right) gestört durch ein additives Rauschen n\left(t\right) vorausgesetzt.

y(t) =  s(t) + n(t)

Das Ausgangssignal x\left(t\right) ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion g\left(\tau\right):

x(t) = g(\tau) * y(t) =  g(\tau) * \left(s(t) + n(t)\right)

Fehler e(t) = s\left(t + d\right) - x(t) und quadratische Fehler e^2(t) = s^2\left(t + d\right) - 2s(t + d)x(t) + x^2(t) ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal s\left(t + d\right). Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

Stellt man x\left(t\right) als Faltungsintegral dar:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau},

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

E(e^2) = R_s(0) - 2\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{y\,s}(\tau + d)d\tau} + \int\limits_{-\infty}^{\infty}{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_y(\tau - \theta)d\tau}d\theta}

wobei

  • R_s die Autokorrelation der Funktion \left.s(t)\right.
  • R_y die Autokorrelation der Funktion \left.y(t)\right.
  • R_{y\,s} die Kreuzkorrelation der Funktionen \left.y(t)\right. und \left.s(t)\right. sind

Wenn das Signal s\left(t\right) und das Rauschen n\left(t\right) unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

  • R_{y\,s} = R_s
  • R_y = R_s + R_n

Das Ziel ist es nun, \left.E(e^2)\right. durch Bestimmung eines optimalen g\left(t\right) zu minimieren.

Stationäre Lösungen[Bearbeiten]

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung[Bearbeiten]

G(s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x(s)}

Unter der Voraussetzung, dass g\left(t\right) optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt zu

E(e^2) = R_s(0) - \int\limits_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}.

Die Lösung g\left(t\right) ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von \left.G(s)\right..

Kausale Lösung[Bearbeiten]

G(s) = \frac{H(s)}{S_x^{+}(s)}

Wobei

  • \left.H(s)\right. die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)},
  • S_x^{+}(s) die positive Lösung der inversen Laplace Transformation von \left.S_{x}(s)\right. und
  • S_x^{-}(s) die negative Lösung der inversen Laplace Transformation von \left.S_x(s)\right. ist.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.
  2. Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.
  3. Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.