XY-Modell

Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall $n=2$ des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit $n=1$ und das Heisenberg-Modell mit $n=3$ ).

Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu^[1] in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.^[2] Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.

Das XY-Modell besteht aus $N$ Spins ${\vec {s_{i}}}$ , die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall $n=2$ .

Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}-{\vec {H}}\sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}

wobei

über die nächsten Nachbarspins summiert wird
„ $\cdot$ “ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
$J$ die Kopplungskonstante
${\vec {H}}$ ein externes Magnetfeld ist.

Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung ${\vec {M}}=(M_{x},M_{y})$ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.