Zyklisches Polytop

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Ein zyklisches Polytop ist ein konvexes Polytop mit Ecken auf der Momentenkurve. Es ist für viele Fragen der kombinatorischen Theorie von Polytopen von großer Bedeutung, unter anderem für das Upper-Bound-Theorem.

Definition[Bearbeiten]

Sei x\!\,(t)=(t,t^2,...,t^d) \in \R^d die Momentenkurve in der Dimension d.

Dann ist das zyklische Polytop C\!\,(d,n) die konvexe Hülle von n Punkten auf der Momentenkurve, wobei n mindestens so groß sein muss wie d+1.

C(d,n)=\mathrm{conv}\!\,(\{x(t_1),x(t_2),...,x(t_{n})\})  mit  \!\,t_1 < t_2 < \cdots < t_{n}


Es ist auch möglich das zyklische Polytop auf anders definierten Momentenkurven zu definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

Im zweidimensionalen ist die Momentenkurve mit der Normalparabel identisch. Jedes Polygon dessen Ecken auf der Normalparabel liegen ist ein zyklisches Polytop.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Zwei gleichdimensionale zyklische Polytope mit der gleichen Eckenanzahl sind kombinatorisch äquivalent. Man kann also von dem zyklischen d-Polytop mit n Ecken sprechen. Diese Eigenschaft folgt aus dem Geradheitskriterium von Gale.
  • Das zyklische Polytop ist ein simpliziales Polytop, d.h. jede echte Seite von ihm ist ein Simplex.
  • Des Weiteren ist C\!\,(d,n) ein \lfloor \tfrac{d}{2} \rfloor-nachbarschaftliches Polytop. Jede konvexe Hülle einer beliebigen Menge von \lfloor \tfrac{d}{2} \rfloor Ecken ist eine Seite des Polytops.
  • Die herausragendste Eigenschaft des zyklischen Polytops ist seine "extremalität". Unter allen d-dimensionalen Polytopen mit n Ecken hat C\!\,(d,n) die maximale Anzahl von k-dimensionalen Seiten (k < d). Ein d-Polytop mit n Ecken kann also nicht mehr k-Seiten haben als das entsprechende zyklische Polytop mit n Ecken (Upper-Bound-Theorem).

Literatur[Bearbeiten]