Benutzer Diskussion:Hagman

So fängt's an …

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Alternative?

Gegeben sei das kommutative Diagramm von Gruppen

${\begin{matrix}&&&&X_{0}&\to &Y_{0}&\to &Z_{0}\\&&&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&X_{1}&\to &Y_{1}&\to &Z_{1}&\to &W_{1}\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &Y_{2}&\to &Z_{2}&\to &W_{2}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\Y_{3}&\to &Z_{3}&\to &W_{3}\\\end{matrix}}$

Wir bezeichnen alle horizontalen Homomorphismen mit h und alle vertikalen mit v. Das neutrale Element der multiplikativ geschriebenen Gruppen sei jeweils e.

Seien alle Spalten sowie die unteren drei Zeilen exakt. Ferner sei $v\colon Y_{0}\to Z_{1}$ und $v\colon Z_{0}\to W_{1}$ injektiv sowie $v\colon X_{2}\to Y_{3}$ surjektiv. Dann ist auch die erste Zeile exakt.

Zunächst folgt für $x_{0}\in X_{0}$ stets $v(h(h(x_{0})))=h(h(v(x_{0}))=e$, woraus sich bereits $h(h(x_{0}))=e$ ergibt.

• Sei $y_{0}\in Y_{0}$ mit $h(y_{0})=e$.
• Dann ist auch $h(v(y_{0}))=v(h(y_{0}))=v(e)=e$.
• Also gibt es $y_{1}\in Y_{1}$ mit $h(y_{1})=v(y_{0})$.
• Wegen $h(v(y_{1}))=v(h(y_{1}))=v(v(y_{0}))=e$ gibt es dann wiederum ein $y_{2}\in Y_{2}$ mit $h(y_{2})=v(y_{1})$.
• Wegen $h(v(y_{2}))=v(h(y_{2}))=v(v(y_{1}))=e$ gibt es dann wiederum ein $y_{3}\in Y_{3}$ mit $h(y_{3})=v(y_{2})$.
• Per Surjektivität finden wir ein $x_{2}\in X_{2}$ mit $v(x_{2})=y_{3}$.
• Dann ist $v(h(x_{2}))=h(v(x_{2}))=h(y_{3})=v(y_{2})$, also $y_{2}=h(x_{2})\cdot v(x_{1})$ für ein $x_{1}\in X_{1}$.
• Dann ist $v(h(x_{1}))=h(v(x_{1}))=h(h(x_{2}))\cdot h(v(x_{1}))=h(h(x_{2})\cdot v(x_{1}))=h(y_{2})=v(y_{1})$, also $y_{1}=h(x_{1})\cdot v(x_{0})$ für ein $x_{0}\in X_{0}$.
• Dann ist $v(h(x_{0}))=h(v(x_{0}))=h(h(x_{1}))\cdot h(v(x_{0}))=h(h(x_{1})\cdot v(x_{0}))=h(y_{1})=v(y_{0})$.
• Hieraus folgt aber $h(x_{0})=y_{0}$.

Es gilt auch die duale Aussage:

Seien in obigem Diagramm alle Spalten sowie die oberen drei Zeilen exakt. Ferner seien $v\colon X_{2}\to Y_{3}$ und $v\colon Y_{2}\to Z_{3}$surjektiv sowie $v\colon Z_{0}\to W_{1}$ injektiv. Dann ist auch die letzte Zeile exakt.

Zu $y_{3}\in Y_{3}$ finden wir zunächst ein $x_{3}\in X_{3}$ mit $v(x_{3})=y_{3}$. Es folgt $h(h(y_{3}))=h(h(v(x_{3})))=v(h(h(x_{3})))=v(e)=e$.

• Sei $z_{3}\in Z_{3}$ mit $h(z_{3})=e$.
• Dann gibt es ein $y_{2}\in Y_{2}$ mit $v(y_{2})=z_{3}$, und für diese gilt $v(h(y_{2}))=h(v(y_{2}))=h(z_{3})=e$.
• Also gibt es ein $y_{1}\in Y_{1}$ mit $v(y_{1})=h(y_{2})$.
• Wegen $v(h(y_{1}))=h(v(y_{1}))=h(h(y_{2}))=e$ gibt es dann wiederum ein $y_{0}\in Y_{0}$ mit $v(y_{0})=h(y_{1})$.
• Aus $v(h(y_{0}))=h(v(y_{0}))=h(h(y_{1}))=e$ folgt per Injektivität bereits $h(y_{0})=e$.
• Folglich ist $y_{0}=h(x_{0})$ für ein $x_{0}\in X_{0}$.
• Wegen $h(v(x_{0}))=v(h(x_{0}))=v(y_{0})=h(y_{1})$ gilt $y_{1}=h(x_{1})\cdot v(x_{0})$ für ein $x_{1}\in X_{1}$.
• Wegen $h(v(x_{1}))=v(h(x_{1}))=v(h(x_{1}))\cdot v(v(x_{0}))=v(h(x_{1}\cdot v(x_{0}))=v(y_{1})=h(y_{2})$ gilt $y_{2}=h(x_{2})\cdot v(x_{1})$ für ein $x_{2}\in X_{2}$.
• Dann ist $h(v(x_{2}))=v(h(x_{2}))=v(h(x_{2}))\cdot v(v(x_{1}))=v(h(x_{2}\cdot v(x_{1}))=v(y_{2})=z_{3}$.

--Hagman 19:24, 23. Feb. 2007 (CET)

Quellanangaben

Hiho, Dein Artikel zu Daniel Marinus Kan enthaelt irgendwie keine Quellenangaben. Bzw. als einziges einen Verweis auf die en-WP, aber weder ist die en-WP an sich eine Quelle, noch enthaelt der dortige Artikel Quellen. Bitte hole das doch nach. Ach ja, ich glaube nicht, dass Kan fuer seinen PhD Geld bezahlt hat ;-) --P. Birken 14:04, 11. Mai 2007 (CEST)

Ist mir bewußt und ich hatte gehpfft, das rasch beseitigen zu können. Scheint aber mehr Recherche zu erfordern, vgl. Diskussion vor Ort. Ach ja, "Erwerb" bedeutet nicht automatisch "gegen Geld" (z.B. findet Spracherwerb bei Kindern regelmäßig vor der Geschäftsfähigkeit statt). Statt jedoch erwerbe durch erlangen zu ersetzen (wie es ja immer so schön auf der Titelseite heißt), habe ich direkt auf promovieren verkürzt.--Hagman 11:45, 12. Mai 2007 (CEST)

Das meiste müsste ja durch Fachliteratur zu erledigen sein. Promovieren finde ich ansonsten deutlich besser, danke. --P. Birken 11:56, 13. Mai 2007 (CEST)

Port Numbay / Jayapura?

Hallo, ich habe eine Frage an dich hier. --Elekhh 02:59, 27. Okt. 2010 (CEST)

Stellenwertsystem G A T C

Hallo, ich hab auch eine Frage: In der DNA wird doch Information codiert. Mit vier Ziffern. Diese Ziffern sind dreidimensionale Moleküle, nämlich die Nukleotide. Irgendwo hab' ich mal gelesen, dass im Genom eines Rochen(?) mit einem elektrischen Organ, das kreisrund ist, die Zahl Pi gefunden wurde. Welche Mathematiker beschäftigen sich mit dem 'Quatralsystem', oder wie das heißt? Und wie könnte ich diesen Text wieder finden, den ich damals gelesen hab'? Ein Mathematiker hatte einen Genforscher zur einer Pause in dessen Labor abgeholt und dabei 'zufällig' in den Aufzeichnungen des Genforschers die Zahl Pi in diesem Quatralsystem erkannt. Es muss ja wirklich ein doppelt krasser Zufall gewesen sein, weil der Genforscher ja bestimmt den Nukleotiden arabische Ziffern zugeordnet hat. Ich hab' die Geschichte doch nicht geträumt. Kannst Du mir helfen? Rilu 07:46, 2. Jan. 2011 (CET)

Ich kann doch nicht jeden seltsamen Roman kennen! In ähnlicher Form werden (realistisch unsinnige) Beziehungen zwischen geeigneten Formen von "Genomen" und den exprimierten Phänotypen in Gödel Escher Bach beleuchtet (In einem palindromischen Dialog wird über ds palindromische Erbgut von Herrn Krebs gesprochen). Google mit "Pi" und "Rochen" scheint nicht vielversprechend. Vielleich findest du ja etwas bei der Suche nach den Anfangsziffern von $\pi$, also CGTAGGCCCATTTTGTG oder dasselbe mit irgendwie vertauschten Buchstaben --Hagman 15:55, 3. Jan. 2011 (CET)

SUL

Right now I'm trying to usurp Hagman on en:WP (where I'm unusually named Hagman-de).--Hagman 11:39, 5. Jan. 2011 (CET)