Δ-Lemma

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das -Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Familie von Mengen, und eine weitere Menge. heißt ein -System mit Wurzel , falls gilt:

  • , der Schnitt zweier Mengen aus ist also konstant.

Das -Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares -System.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien Kardinalzahlen mit

  • ist regulär:
  • Für alle gilt: (siehe Kardinalzahlarithmetik),

dann gibt es für jede Familie mit und für ein -System der Mächtigkeit . Setzt man und , so erhält man obigen Spezialfall.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.
  • Kenneth Kunen: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Bd. 102). North-Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1980, ISBN 0-444-85401-0.