Endliche Menge

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In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine endliche Menge eine Menge mit endlich vielen Elementen. So ist beispielsweise die Menge

M\,=\,\{4,6,2,8\}

eine endliche Menge mit vier Elementen. Die leere Menge hat per definitionem keine Elemente, d. h. die Anzahl der Elemente (Kardinalität oder Mächtigkeit) ist 0, sie gilt daher auch als endliche Menge. Die Kardinalität (geschrieben |M| für eine Menge M) einer endlichen Menge wird mit einer natürlichen Zahl (unter Einbeziehung der Null) identifiziert, beispielsweise schreibt man dann |M|=4, um auszudrücken, dass M aus vier Elementen besteht.

Eine Menge, die nicht endlich ist, wird als unendliche Menge bezeichnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die durch die roten Pfeile angedeutete Bijektion f zeigt |M|=|M_4| und somit die Endlichkeit von M

Eine Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass eine Bijektion (eine Eins-zu-eins-Zuordnung)

f\colon M\rightarrow\{0,\dotsc,n-1\}

zwischen M und der Menge aller natürlichen Zahlen kleiner als n, \{m\in\N|m<n\}=\{0,1,2,3,\dotsc,n-1\}, existiert.

Insbesondere ist also für n=0 die leere Menge endlich, da eine Bijektion zwischen der leeren Menge und der leeren Menge (alle natürlichen Zahlen kleiner als 0, solche existieren nicht) existiert.

So ist zum Beispiel die Menge

M\,=\,\{4,6,2,8\}

endlich, da eine Bijektion zur Menge

M_4\,=\,\{0,1,2,3\}

existiert, siehe etwa nebenstehende Abbildung.

Für die Menge aller natürlichen Zahlen

\N=\{0,1,2,3,\dotsc\}

existiert hingegen keine solche Bijektion auf eine endliche Menge, die Menge \N ist daher unendlich.

Grundlegende Eigenschaften endlicher Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Teilmenge einer endlichen Menge A ist ebenfalls endlich.
  • Sind A,B endliche Mengen, so sind auch ihre Vereinigungsmenge A \cup B und ihre Schnittmenge A\cap B endlich.
  • Ist A eine endliche Menge, dann ist die Differenzmenge A\setminus B für beliebige Mengen B endlich.
  • Andersherum ist A unendlich, und B endlich, so ist A\setminus B unendlich.
  • Für die Kardinalität der Vereinigungsmenge A \cup B gilt |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|; sind A und B disjunkt, so hat man |A\dot\cup B| = |A| + |B|.
  • Die Potenzmenge einer endlichen Menge hat eine höhere Mächtigkeit als die Menge selbst, ist aber immer noch endlich, es gilt |P(A)| = 2^{|A|}.
  • Das kartesische Produkt endlicher Mengen ist endlich. Seine Mächtigkeit ist höher als die aller beteiligter Faktoren, wenn kein Faktor leer ist und mindestens zwei Faktoren eine Mächtigkeit größer 1 haben. Für endliche Mengen A,B gilt |A\times B| = |A| \cdot |B|.

Dedekind-Endlichkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen stammt von Dedekind. Er definierte:

Eine Menge M heißt endlich, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, anderenfalls unendlich.

Man spricht heute von Dedekind-Endlichkeit bzw. Dedekind-Unendlichkeit.

Um nun zu zeigen, dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist, genügt es, Folgendes zu zeigen:

  1. Die leere Menge ist zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig.
  2. Wenn M zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, dann ist auch M \cup \{a\} zu keiner echten Teilmenge (von sich selbst) gleichmächtig.

(Punkt 1 ist klar, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Zu Punkt 2 muss man zeigen, dass man aus einer Bijektion f' zwischen der Menge M' := M \cup \{a\} und einer echten Teilmenge U' von M' eine Bijektion f zwischen M und einer echten Teilmenge U gewinnen kann.)

Umgekehrt ist jede Dedekind-endliche Menge A auch endlich, denn wäre A unendlich, so könnte man mit Hilfe des Auswahlaxioms eine Folge a_0, a_1, a_2, \dotsc von paarweise verschiedenen Elementen a_n\in A finden. Die Abbildung

f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_0\},\quad a\mapsto \begin{cases} a_{n+1} &, \mbox{ falls } a=a_n \mbox{ für ein }n\\ a &, \mbox{ sonst}\end{cases}

zeigt dann, dass A zur echten Teilmenge A\setminus \{a_0\} gleichmächtig und daher nicht Dedekind-endlich ist. Widerspruch!

Erblich endliche Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Menge A heißt erblich endlich, wenn die transitive Hülle endlich ist. Das heißt, dass nicht nur A endlich ist, sondern auch alle Elemente aus A endliche Mengen sind, und deren Elemente ebenfalls endliche Mengen sind, und so weiter.

Nach Definition sind alle erblich-endlichen Mengen endlich. Die Umkehrung gilt nicht, so ist etwa \{\N\} eine endliche Menge, denn sie enthält als einziges Element \N, aber das Element \N selbst ist nicht endlich.

In der abstrakten Mengenlehre werden die natürlichen Zahlen als erblich endliche Mengen eingeführt:

\begin{align} 
0 &:= \emptyset\\
1 &:= \{\emptyset\} = \{0\}\\
2 &:= \{\emptyset, \{\emptyset\} \} = \{0,1\}\\
3 &:= \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\} \} \,\} = \{0,1,2\}\\
&\vdots\\
n &:= \{0,1,\dotsc, n-1\}
\end{align}

Damit sind die natürlichen Zahlen selbst endliche Mengen, sogar erblich endlich, und es gilt |n| = n für jede natürliche Zahl n, wobei hier die senkrechten Striche nicht für die Betragsfunktion stehen, sondern für die Mächtigkeit. Das ist der Grund, warum oben in der Einleitung eine Gleichmächtigkeit zu \{0,1,\dotsc,n-1\} an Stelle von \{1,2,\dotsc, n\} erwähnt wurde. Letzteres wäre zwar auch richtig gewesen, aber die getroffene Wahl passt besser zur Definition der natürlichen Zahlen. Danach hat eine Menge die Mächtigkeit n, wenn sie zu n gleichmächtig ist.

Durchschnitte, Vereinigungen und Produkte erblich endlicher Mengen sind wieder erblich endlich. Die Menge aller erblich endlichen Mengen ist genau die Stufe V_\omega der Von-Neumann-Hierarchie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

Weitere Endlichkeitsbegriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Endlichkeit einer Menge lässt sich auch ordnungstheoretisch fassen. Hier ist insbesondere das auf Alfred Tarski zurückgehende Konzept der Tarski-Endlichkeit zu nennen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]