σ-Additivität

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Die σ-Additivität, manchmal auch abzählbare Additivität genannt, ist in der Stochastik und der Maßtheorie eine Eigenschaft von Funktionen, die auf Mengensystemen definiert sind, deren Argumente also Mengen sind. Sie ist essentiell für den modernen axiomatischen Aufbau der Stochastik sowie der Maß- und Integrationstheorie, wird jedoch auch von manchen Mathematikern wie beispielsweise Bruno de Finetti abgelehnt.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben sei ein Mengensystem  \mathcal M auf der Grundmenge  X , also  \mathcal M \subset \mathcal P (X) . Eine Abbildung

 f \colon \mathcal M \to \R \cup \{+ \infty\}

heißt σ-additiv, wenn für jede abzählbare Folge von paarweise disjunkten Mengen  A_1, A_2, A_3, \dots aus  \mathcal M , für die  \bigcup_{i=1}^\infty A_i wieder in  \mathcal M ist, gilt, dass

 f \left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right)= \sum_{i=1}^\infty f(A_i)

ist.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Zu beachten ist, dass nicht gefordert wird, dass das Mengensystem abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen ist, sondern lediglich, dass wenn die abzählbare Vereinigung wieder in dem Mengensystem liegt, die obige Gleichung gelten soll.

Beispiel[Bearbeiten]

Jedes Maß und jedes Prämaß ist per Definition σ-additiv.

Literatur[Bearbeiten]