Monogenes Signal

Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

Definitionen

Monogenes Signal

Es sei d eine natürliche Zahl und $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ eine Funktion. Dann ist das monogene Signal $f_{M}$ definiert durch

$f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),$

wobei $R_{j},j=1,\ldots ,d$ die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Riesz-Transformation

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, $j=1,\ldots ,d,$ der Riesz-Transformation $R_{j}$ ist definiert durch

$R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y)\,\mathrm {d} y$

mit

$c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},$

wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten $R_{j}$

$Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).$

Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

Für $d=1$ ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation ${\mathcal {H}}$ und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

$\left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)$

Zerlegung in Phase und Amplitude

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude $A$ ist in diesem Falle definiert durch

$A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},$

der lokale Phasenwinkel $\alpha$ durch

$\alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,$

die lokale Phasenrichtung $u$ durch

$u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}$

und die lokale Phase $\phi$ durch

$\phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.$

Beispiel

Testbild Zonenlinse

lokale Amplitude

lokale Orientierung (lokale Phasenrichtung als Winkel dargestellt, weiß = $\pi$, schwarz = 0)

lokaler Phasenwinkel

Anwendung in der Bildanalyse

Fasst man die Funktion $f$ als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

• Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
• Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

Literatur

• M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144. 
• S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667. 

Software

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

• Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
• MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne