Multiskalenanalyse

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Die Multiskalenanalyse (MRA, englisch: multiresolution analysis) oder -approximation (MSA, englisch: multiscale approximation) des Funktionenraums ist eine funktionalanalytische Grundkonstruktion der Wavelet-Theorie, welche die Approximationseigenschaften der diskreten Wavelet-Transformation beschreibt. Insbesondere erklärt sie die Möglichkeit und Funktionsweise des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Multiskalenanalyse des Raums L²(R) besteht aus einer Folge geschachtelter Unterräume

,

welche sowohl Selbstähnlichkeitbedingungen in Zeit/Raum und Skala/Frequenz, als auch Vollständigkeits- und Regularitätsbedingungen erfüllt.

  • Selbstähnlichkeit in der Zeit verlangt, dass jeder Unterraum Vk invariant ist unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von 2k. Dies heißt, für jede Funktion gibt es eine Funktion mit .
  • Selbstähnlichkeit zwischen verschiedenen Skalen verlangt, dass alle Unterräume zeitskalierte Kopien voneinander sind, wobei der Skalierungs- bzw. Streckungsfaktor 2k-l beträgt. Dies heißt, für jede Funktion gibt es eine Funktion mit . Hat beispielsweise f einen beschränkten Träger, so ist der Träger von g um den Faktor 2k-l zusammengestaucht. Mit anderen Worten, die Auflösung (im Sinne von Punkten auf einem Bildschirm) des l-ten Unterraums ist höher als die Auflösung des k-ten Unterraums.
  • Regularität verlangt, dass der Modell-Unterraum V0 die lineare Hülle (algebraisch oder gar topologisch abgeschlossen) der ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen oder ist. Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest eine Riesz-Basis, besser aber eine Hilbert-Basis des Unterraums bilden, woraus ein schneller Abfall im Unendlichen der erzeugenden Funktionen folgt. Letzteres ist für Funktionen mit kompaktem Träger trivialerweise erfüllt. Die erzeugenden Funktionen werden Skalierungsfunktionen oder Vaterwavelets genannt. Oft werden sie als (stückweise) stetige Funktionen mit kompaktem Träger konstruiert.
  • Vollständigkeit verlangt, dass diese geschachtelten Unterräume den gesamten Raum ausfüllen, das heißt, ihre Vereinigung soll dicht in sein; weiterhin, dass sie nicht redundant sind, das heißt, ihr Durchschnitt darf nur das Nullelement enthalten.

Skalierungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im praktisch wichtigsten Falle, dass es nur eine Skalierungsfunktion mit kompaktem Träger in der MRA gibt, und diese eine Hilbert-Basis im Unterraum V0 erzeugt, erfüllt diese eine Zwei-Skalen-Gleichung (in der engl. Literatur: refinement equation)

.

Die dort auftretende Zahlenfolge heißt Skalierungsfolge oder -maske und muss ein diskreter Tiefpassfilter sein, was in diesem Falle bedeutet, dass

und

erfüllt ist, bzw. dass die Fourierreihe

im Nullpunkt den Wert 1 und an der Stelle π eine Nullstelle hat, a(π)=0.

Es ist eine Grundaufgabe des Wavelet-Designs, Bedingungen an festzustellen, unter denen gewünschte Eigenschaften von , wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit etc. folgen. Soll orthogonal, d.h. senkrecht zu allen ganzzahligen Verschiebungen von sich selbst sein, so muss

und

für gelten, mittels der Fourierreihe lautet die Bedingung .

Üblicherweise werden diese Folgen als Koeffizientenfolgen eines Laurent-Polynoms angegeben, das heißt . Die Normierung schreibt sich damit als , die Tiefpasseigenschaft als oder für ein , die Orthogonalitätsbedingung als .

Beispiele

  • Das Haar-Wavelet hat eine Skalierungsmaske
  • Das Wavelet mit Ordnung der Daubechies-Familie hat die Skalierungsmaske

Geschachtelte Unterräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine orthogonale Skalierungsfunktion. Dann kann ein affines Funktionensystem und eine Folge von Skalierungsunterräumen definiert werden. Damit gilt dann und ist eine orthonormale Basis von .

Mit einem beliebigen ungeradem kann nun die Wavelet-Folge definiert werden, wobei . Damit definiert sich das Wavelet als

und die Waveletunterräume als . Mit diesen ergibt sich eine als Fischgräte bekannte orthogonale Zerlegung der Skalierungsräume

und allgemein bei .

Die grundlegende analytische Forderung an eine MRA ist, dass die Waveletunterräume den voll ausschöpfen, das heißt soll ein dichter Unterraum von sein.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]