Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$. In diesem Fall ist $J:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ),\,f\mapsto J\,f$ durch

$(J\,f)_{n}={\begin{cases}a_{1}f_{2}+b_{1}f_{1},&n=1,\\a_{n}f_{n+1}+a_{n-1}f_{n-1}+b_{n}f_{n},&n>1,\end{cases}}$

gegeben, wobei die Koeffizienten

$a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R}$

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung $P_{n}(z)$ der Differenzengleichung

$J\,P_{n}(z)=z\,P_{n}(z),\qquad P_{1}(z)=1,$

ist ein Polynom vom Grad $n$ und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor $\delta _{1,n}$ gehört.

Anwendungen

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall $a_{n}=1$ ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

Literatur

• G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)