Kronecker-Delta

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Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise ) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

Dabei können und Elemente einer beliebigen Indexmenge sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kronecker-Delta kann in der Form

,

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion der Diagonalmenge . Häufig wird dabei an Stelle von ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Für Produkte von Kronecker-Deltas mit und für alle mit Indexmengen gilt

Dieser Ausdruck vergleicht quasi jedes mit dem feststehenden und ist nur dann 1, wenn alle Ausdrücke gleich sind, weshalb statt ein beliebiges (ausgedrückt als ) dafür eingesetzt werden kann.

Für beispielsweise mit bedeutet das (nach Streichung der gleichen Indizes):

Dieser Ausdruck ist genau dann (und nur dann) 1, wenn gilt. Wird das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention verwendet, so ist diese Aussage nicht korrekt. Auf das Kronecker-Delta zusammen mit der einsteinschen Summenkonvention wird im Abschnitt Als (r,s)-Tensor eingegangen.

Trivialerweise gilt auch (für ):

Als (r,s)-Tensor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man das Kronecker-Delta auf einem endlichdimensionalen Vektorraum , so kann man es als (0,2)-Tensor verstehen. Als multilineare Abbildung

ist das Kronecker-Delta durch seine Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt und es gilt

Das Kronecker-Delta als (0,2)-Tensor ist ein Spezialfall der allgemeinen Definitionen vom Artikelanfang. Ist nämlich in der allgemeinen Definition die Indexmenge endlich und werden durch diese endlichdimensionale Vektoren indiziert, dann sind die allgemeine Definition und die Sichtweise als (0,2)-Tensor gleich. Eine andere Erweiterung des als Tensor aufgefassten Kronecker-Deltas ist das Levi-Civita-Symbol.

Im Zusammenhang mit dem Tensorkalkül wird oftmals die einsteinsche Summenkonvention verwendet, bei dieser wird über doppelt auftretende Indizes summiert. Das heißt, in einem n-dimensionalen Vektorraum gilt

Meistens wird bei dieser Summenkonvention auch darauf geachtet, welche Indizes oben und welche unten stehen und es wird nur summiert, wenn der gleiche Index einmal oben und einmal unten steht. Im Fall des Kronecker-Deltas müsste es dann also lauten.

Integral- und Summendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man als Indexmenge die Menge der ganzen Zahlen , dann kann das Kronecker-Delta mithilfe eines Kurvenintegrals dargestellt werden. Es gilt nämlich

wobei die Kurve, die auf dem Kreis verläuft, gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist. Diese Darstellung kann mithilfe des Residuensatzes bewiesen werden.

Manchmal ist auch eine Darstellung in der Form

hilfreich. Diese kann mit Hilfe der Partialsummenfolge der geometrischen Reihe hergeleitet werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In der linearen Algebra kann die -Einheitsmatrix als geschrieben werden.
  • Mit dem Kronecker-Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren als schreiben.

Alternative Definition in der digitalen Signalverarbeitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der digitalen Signalverarbeitung wird eine andere ähnliche Definition des Kronecker-Deltas verwendet. Das Kronecker-Delta wird hier als Funktion auf verstanden und ist definiert durch

Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als „Einheitsimpuls“ bezeichnet und dient der Ermittlung der Impulsantwort in diskreten Systemen wie beispielsweise digitalen Filtern.[1]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Delta-Distribution bildet ein Analogon in der Distributionentheorie, sie verhält sich unter Integration wie das Kronecker-Delta unter Summation über alle möglichen Werte für einen der beiden Parameter.
  • Das Dirac-Maß dagegen bildet ein Analogon in der Maßtheorie, es verhält sich unter Integration bezüglich des Maßes analog zum Kronecker-Delta.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]