Tijs-Wert

Der Tijs-Wert (auch $\tau$-Wert genannt) ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Das Prinzip dieses Konzeptes ist eine Verhandlungssituation, bei der zunächst eine Obergrenze (Obervektor) sowie eine Untergrenze (Untervektor) bestimmt werden.

Obervektor

Der Vektor der Grenzbeiträge jedes Spielers zur großen Koalition bildet den Obervektor. Unter der großen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition. Für jeden Spieler $i\in N$, diese seien nummeriert von ${1}$ bis $n$, wird die Differenz zwischen dem Wert der großen Koalition $v(N)$ und dem Wert der großen Koalition abzüglich des Spielers $v(N\setminus \{i\})$ berechnet. Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers $i$ beschreibt die obere Grenze für die Auszahlung an eben jenen Spieler. Somit wird dem Spieler keine höhere Auszahlung gewährt, als sein Wertbeitrag zur großen Koalition.

In einem Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist der Obervektor (auch Utopia-Vektor genannt) $b=(b_{1},b_{2},...,b_{n})^{\mathrm {T} }$ beschrieben durch:

$\forall \ \ i\in N:b_{i}=v(N)-v(N\setminus \{i\}).$

Die Koordinate $b_{i}$ beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers $i$ bzgl. der großen Koalition $N$.

Untervektor

Sollte sich ein Spieler $i\in N$ nicht an der großen Koalition $N$ beteiligen wollen, so kann er Teil einer sogenannten Außenseiterkoalition $S$ werden. Dann steht ihm der Wert der Außenseiterkoalition $v(S)$ zu. Allerdings muss Spieler $i$ den anderen Spielern einen Anreiz bieten, um ebenfalls an der Außenseiterkoalition $S$ teilzunehmen. Dazu wird jedem anderen Spieler $\displaystyle {j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }$, der Wert geboten, den sie als Teil der großen Koalition $b_{j}$ realisieren könnten. Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze (auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt) des Spielers $i$. Rein rational wird jene Koalition angestrebt, in der diese Differenz am größten ist.

In einem Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist der Untervektor $a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^{\mathrm {T} }$ gegeben mit:

$\forall \ \ i\in N:\ a_{i}=\displaystyle {\max \limits _{S\subseteq N:i\in S}~\left\lbrace v(S)-\sum _{j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }b_{j}\right\rbrace }.$

Quasi-Balanciertheit

An eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt. Zum einen müssen die Koordinaten $b_{i}$ mindestens so groß sein wie $a_{i}$ (für alle Spieler). Zum anderen soll der Wert der großen Koalition nicht-kleiner bzw. nicht-größer als die Summe aller $a_{i}$ bzw. $b_{i}$ sein. Dies beschreibt die Quasi-Balanciertheit eines Spieles.

Ein Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist quasi-balanciert, sofern für alle $i\in N$:

$a_{i}\leq b_{i}$ sowie $\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}\leq v(N)\leq \sum _{i\in N}b_{i}}$ erfüllt ist.

Definition Tijs-Wert

Für quasi-balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert, welche zwischen dem Obervektor $b$ und Untervektor $a$ liegt. Diese Imputation wird Tijs-Wert genannt.

Der $\tau$-Wert eines quasi-balancierten Spieles ist definiert durch:

$\tau ~(v)=a+\lambda (b-a)$, wobei:

$\lambda =0$, wenn $a=b$, ansonsten:

$\lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}.$

Insgesamt erhält Spieler $i$ die $i$-Koordinate des $\tau$-Wert als Lösung zugeteilt.

Beispiel

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels

${\displaystyle S}$	${\displaystyle \emptyset }$	${\displaystyle \{A\}}$	${\displaystyle \{B\}}$	${\displaystyle \{C\}}$	${\displaystyle \{A,B\}}$	${\displaystyle \{A,C\}}$	${\displaystyle \{B,C\}}$	${\displaystyle \{A,B,C\}}$
${\displaystyle v(S)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 700}$	${\displaystyle 500}$	${\displaystyle 500}$	${\displaystyle 1200}$

Der Obervektor $b$ ist bestimmt mit:

$b~={\begin{pmatrix}b_{\scriptscriptstyle A}\\b_{\scriptscriptstyle B}\\b_{\scriptscriptstyle C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace B,C\rbrace )\\v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace A,C\rbrace )\\v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace A,B\rbrace )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1200-500\\1200-500\\1200-700\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}700\\700\\500\end{pmatrix}}$.

Der Untervektor $a$ ist berechnet mit:

$a={\begin{pmatrix}a_{A}\\a_{B}\\a_{C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(v(\lbrace A\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle B}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace B\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace C\rbrace );~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle B}))\end{pmatrix}}$

$a={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~500-700;~500-700;~1200-(700+700))\end{pmatrix}}$

$a={\begin{pmatrix}&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&-200&;~&-200&;~&-200&&)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}$

Weiter ist der Faktor $\lambda$ zu berechnen mit:

$\lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}={\dfrac {1.200-600}{1.900-600}}={\dfrac {6}{13}}$.

Insgesamt folgt daher:

$\tau ~=a+\lambda (b-a)={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}+{\dfrac {6}{13}}{\begin{pmatrix}500\\500\\300\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {5600}{13}}\\{\dfrac {5600}{13}}\\{\dfrac {4400}{13}}\end{pmatrix}}$.

Literatur

• Jesús Mario Bilbao: Cooperative Games on Combinatorial Structures. Springer, New York 2000, ISBN 978-0-7923-7782-5.
• Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.
• S. H. Tijs: Bounds for the core of a game and the $\tau$-value. In: O. Moeschlin, D. Pallaschke (Hg.): Game theory and mathematical economics. North-Holland, Amsterdam 1981, S. 123–132.
• S. H. Tijs: An axiomatization of the $\tau$-value. In: Mathematical Social Sciences, Volume 13, Issue 2, 1987, doi:10.1016/0165-4896(87)90054-0, S. 177–181.