Sinus versus (auch Sinusversus , Quersinus , Versinus oder Versus , in Formeln abgekürzt
vers
{\displaystyle \operatorname {vers} }
Kosinus versus (auch Koversinus oder Querkosinus , in Formeln abgekürzt
covers
{\displaystyle \operatorname {covers} }
Trigonometrie heute selten verwendete trigonometrische Funktionen . Semiversus (englisch haversine , in Formeln abgekürzt
sem
{\displaystyle \operatorname {sem} }
Veranschaulichung am Einheitskreis:
C
D
{\displaystyle CD}
O
D
{\displaystyle OD}
G
F
{\displaystyle GF}
O
F
{\displaystyle OF}
Der Sinus versus wird mit Hilfe der Kosinus- oder Sinusfunktion definiert als[ 1]
vers
θ
=
1
−
cos
θ
=
2
sin
2
θ
2
.
{\displaystyle \operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}
Er ist die Differenz des Kosinus zu +1 (in nebenstehender Abbildung in der Farbe Grün eingezeichnet).
Der Sinus versus kann auf die ganze komplexe Zahlenebene ausgeweitet werden.
Der Semiversus ist die Hälfte des Sinus versus:[ 2]
sem
θ
=
vers
θ
2
=
sin
2
θ
2
{\displaystyle \operatorname {sem} \theta ={\frac {\operatorname {vers} \theta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
Der Kosinus versus ist in nebenstehender Abbildung in der Farbe Cyan und als cvs eingezeichnet.
covers
θ
=
1
−
sin
θ
=
vers
(
π
2
−
θ
)
.
{\displaystyle \operatorname {covers} \theta =1-\sin \theta =\operatorname {vers} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).}
Er ist die Differenz des Sinus zu +1 und auch der Sinus versus des Gegenarguments (π/2 − θ ).[ 3]
Manchmal wird analog zu
versin
θ
=
2
sin
2
(
θ
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =2\sin ^{2}(\theta /2)}
coversin
θ
=
versin
(
π
/
2
−
θ
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} \theta =\operatorname {versin} (\pi /2-\theta )}
versin
θ
=
1
−
cos
θ
=
2
sin
2
θ
2
{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
haversin
θ
=
versin
θ
2
=
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \operatorname {haversin} \theta ={\frac {\operatorname {versin} \theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}
vercos
θ
=
1
+
cos
θ
=
2
cos
2
θ
2
{\displaystyle \operatorname {vercos} \theta =1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
havercos
θ
=
vercos
θ
2
=
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle \operatorname {havercos} \theta ={\frac {\operatorname {vercos} \theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}
coversin
θ
=
1
−
sin
θ
=
versin
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} \theta =1-\sin \theta =\operatorname {versin} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}
hacoversin
θ
=
coversin
θ
2
=
1
−
sin
θ
2
{\displaystyle \operatorname {hacoversin} \theta ={\frac {\operatorname {coversin} \theta }{2}}={\frac {1-\sin \theta }{2}}}
covercos
θ
=
1
+
sin
θ
=
vercos
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle \operatorname {covercos} \theta =1+\sin \theta =\operatorname {vercos} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}
hacovercos
θ
=
covercos
θ
2
=
1
+
sin
θ
2
{\displaystyle \operatorname {hacovercos} \theta ={\frac {\operatorname {covercos} \theta }{2}}={\frac {1+\sin \theta }{2}}}
Die Ableitungen und die Stammfunktionen sind:
d
d
x
versin
x
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {versin} x=\sin {x}}
∫
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}
d
d
x
vercos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {vercos} x=-\sin {x}}
∫
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {vercos} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
d
d
x
coversin
x
=
−
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {coversin} x=-\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}
d
d
x
covercos
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {covercos} x=\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {covercos} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}
d
d
x
haversin
x
=
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {haversin} x={\frac {\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
havercos
x
=
−
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {havercos} x={\frac {-\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {havercos} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
hacoversin
x
=
−
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {hacoversin} x={\frac {-\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}
d
d
x
hacovercos
x
=
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {hacovercos} x={\frac {\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacovercos} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}
Der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie spielte für die nautische Navigation nach den Sternen in früherer Zeit eine wichtige Rolle.[ 4] [ 5]
Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten-Kosinussatz zu:
s
e
m
(
a
)
=
s
e
m
(
b
−
c
)
+
sin
(
b
)
⋅
sin
(
c
)
⋅
s
e
m
(
α
)
{\displaystyle {\rm {sem}}(a)={\rm {sem}}(b-c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot {\rm {sem}}(\alpha )}
↑ Eric W. Weisstein : Versine .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Haversine .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Coversine .MathWorld ↑ Bobby Schenk: Astronavigation: ohne Formeln - praxisnah . 2. Auflage. Delius Klasing & Co., Bielefeld 1978. ↑ Otto Fulst: Nautische Tafeln . Hrsg.: Johannes Lütjen, Walter Stein, Gerhard Zwiebler. 24. Auflage. Arthur Geist Verlag, Bremen 1972, 17–18.
