Benutzer:Antonsusi/Siebeneck

Beweis für die Konstruierbarkeit mittels Winkeldreiteilung

Konstruktion mit Tomahawk (rot)

Der Beleg erfolgt mit Hilfe der komlpexen Rechnung. Im Einheitskreis ist die X-Koordinate von B der Cosinus des Zentriwinkels $\mu =2\pi /7$

Der Punkt

$B=x+iy=\cos(\mu )+isin(\mu )$

erfüllt die Kreisteilungsgleichung

$1+B+B^{2}+B^{3}+B^{4}+B^{5}+B^{6}=0$

Hierbei sind die Realteile von B und B^6 , B^2 und B^5 sowie B^3 und B^4 gleich. Es gilt also

$1+Re(B)+Re(B^{2})+Re(B^{3})+Re(B^{3})+Re(B^{2})+Re(B)=0$

$1+2\cos(\mu )+2\cos(2\mu )+2\cos(3\mu )=0$

$\cos(\mu )+\cos(2\mu )+\cos(3\mu )=-{\frac {1}{2}}$

Mit den Additionstheoremen

$\cos(2\mu )=2\cos ^{2}(\mu )-1$

und

$\cos(3\mu )=4\cos ^{3}(\mu )-3\cos \mu$

ergibt sich:

$\cos(\mu )+2\cos ^{2}(\mu )-1+4\cos ^{3}(\mu )-3\cos \mu =-{\frac {1}{2}}$

zusammen mit $x=\cos \mu$:

$x+2x^{2}-1+4x^{3}-3x=-{\frac {1}{2}}$

$2x+4x^{2}-2+8x^{3}-6x=-1$

$8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$

Der Kosinus des Zentriwinkels ist also eine Lösung dieser Gleichung.

Lösung der Gleichung mit den Cardanischen Formeln

$8x^{3}+4x^{2}-4x-1=0$

oder

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

mit

$a={\tfrac {1}{2}}$ , $b=-{\tfrac {1}{2}}$ , $c=-{\tfrac {1}{8}}$

Substitution $x=z-{\frac {b}{3}}$:

$z^{3}+pz+q=0,$

mit

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}={\frac {7}{12}}$     und     $q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c={\frac {7}{216}}$

ergibt sich

$z^{3}-{\frac {7}{12}}z-{\frac {7}{216}}=0$

Aus

$\Delta ={\frac {q}{2}}^{2}+{\frac {p}{3}}^{3}=-{\frac {49}{6912}}<0$

und der Substitution $z=u+v$ ergibt sich:

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {-\Delta }}}}$ $u={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{432}}+{\sqrt {\frac {49}{6912}}}}}$ $u={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{9\cdot 48}}+{\sqrt {\frac {7^{2}}{48^{2}\cdot 3}}}}}$ $u={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{9\cdot 48}}+{\frac {7}{48}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}}}$

$v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {-\Delta }}}},$ $v={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{432}}-{\sqrt {\frac {49}{6912}}}}}$ $v={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{9\cdot 48}}-{\sqrt {\frac {7^{2}}{48^{2}\cdot 3}}}}}$ $v={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{9\cdot 48}}-{\frac {7}{48}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}}}$

$z=u+v={\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{9\cdot 48}}+{\frac {7}{48}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {7}{9\cdot 48}}-{\frac {7}{48}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}}}$

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Zweiter Ansatz

Nachweis: Nimmt man für den Radius des Umkreises das sechsfache einer frei wählbaren Längeneinheit, so ist $r=6$. Das entspricht auch ${\overline {QR}}$. Für die Höhe der gleichseitigen Dreiecks \triangle{QKR} gilt ${\overline {OK}}=3{\sqrt {3}}={\sqrt {27}}$. Mit ${\overline {OP}}=1$ ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras ${\overline {PK}}={\sqrt {1+27}}={\sqrt {28}}$. Des Weiteren gilt noch:

$\cos(\angle OPK)={\frac {1}{\sqrt {28}}}$

und

${\overline {PU}}={\sqrt {28}}\cdot \cos(\angle APS)={\sqrt {28}}\cdot \cos({\tfrac {1}{3}}\angle APK)$

Benennen wir den Zentriwinkel mit $\varphi =2\pi /7$ so gilt:

Die Konstruktion ist richtig, wenn

${\overline {OU}}=6\cos \varphi$ bzw. ${\overline {PU}}=1+6\cos \varphi$

richtig ist. Dann wäre

${\sqrt {28}}\cdot \cos \left({\tfrac {1}{3}}\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {28}}}\right)\right)=1+6\cdot \cos \varphi$ (GL1)

Es sei $\zeta =\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$ eine siebte Wurzel aus 1 und $\eta =\zeta +\zeta ^{-1}$. Dann gilt

$\eta ^{3}+\eta ^{2}-2\eta -1=(\zeta ^{3}+3\zeta ^{2}\cdot \zeta ^{-1}+3\zeta \cdot \zeta ^{-2}+\zeta ^{-3})+(\zeta ^{2}+2\zeta *\zeta ^{-1}+\zeta ^{-2})-2\cdot (\zeta +\zeta ^{-1})-1=$

$\color {Red}\zeta ^{3}\color {Blue}+3\zeta \color {Tan}+3\zeta ^{-1}\color {Violet}+\zeta ^{-3}\color {OliveGreen}+\zeta ^{2}\color {Cyan}+2\color {Magenta}+\zeta ^{-2}\color {Blue}-2\zeta \color {Tan}-2\zeta ^{-1}\color {Cyan}-1\quad =\quad \color {Red}\zeta ^{3}\color {OliveGreen}+\zeta ^{2}\color {Blue}+\zeta \color {Cyan}+1\color {Tan}+\zeta ^{-1}\color {Magenta}+\zeta ^{-2}\color {Violet}+\zeta ^{-3}=0$

Damit ist $\eta$ eine Lösung von $X^{3}+X^{2}-2X-1=0\quad$ und $\quad 1+6\cdot \cos \varphi =1+3\eta$ (rechte Seite der zu prüfenden Gleichung).

Mit der Substitution $X={\frac {Y-1}{3}}$ ergibt sich

$Y^{3}-21Y-7=0$

Mit der Substitution $Y={\sqrt {28}}\cos \Theta$ ergibt sich

$7{\sqrt {28}}(4\cos ^{3}\Theta -3\cos \Theta )=7\quad$ mit $\quad \cos(3\Theta )={\frac {1}{\sqrt {28}}}$

Einsetzen in die linke Seite von GL1:

${\sqrt {28}}\cdot \cos \Theta =1+6\cdot \cos \varphi$

$7{\sqrt {28}}(\cos(3\Theta ))=7$