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Ramsey-Cass-Koopmans-Modell

Das Ramsey-Cass-Koopmans Modell, oder Ramsey Wachstumsmodell, ist ein neu-kassiches Model des Wirtschaftswachstums, basierend auf der Arbeit von Frank P. Ramsey, mit signifikanten Erweiterungen by David Cass und Tjalling Koopmans.

Ursprünglich hatte Ramsey sein Modell für einen zentralen Planer der seinen Nutzen über nachfolgende Generationen maximieren möchte. Erst später wurde das Modell von Cass und Koopmans auf eine dezentrale dynamische Volkswirtschaft übertragen. Das Ramsey-Cass-Koopmans Modell zielt mehr darauf ab das langfristige Wachstum einer Volkswirtschaft zu erklären anstatt Konjunktur-Zyklen. Es beinhaltet keinerleit Störungen wie einen unperfekten Makt, heterogänität zwischen den Haushalten oder exogenen Schocks. Aus diesem Grund wurde das Modell erweitert um Nachfrageschocks, Veränderungen in der Beschäftigung oder andere Schocks modellieren zu können. Dieses erweiterte Modell ist bekannt als die Real-Business-Cyclel-Theorie.

Annahmen des Modells

Im Modell wird von einer geschlossenen Volkswirtschaft mit unendlichen Zeithorizont ausgegangen. Es gibt einen endliche Anzahl an Haushalten die völlig identisch zueinander sind. Alle Variablen sind stetig und ableitbar nach der Zeit t.

Zu jeden Zeitpunkt beschäftigen Unternehmen Arbeiter mit dem aktuellen Marktlohn $\omega (t)$ und leihen sich Kapital zu den aktuellen Zinsen $r(t)$ von den Haushalten. Die Produktion aller Unternehmen is völlig homogen und kann entweder konsumiert werden oder gespart/investiert werden. Es herrrscht vollkommene Konkurrenz auf allen Märkten, so dass Preis für Haushalte und Unternehmen exogen gegeben sind. Preise werden abstrakt in Outputeinheiten gemessen.

In dem Modell wird von rationalen Erwartungen ausgegangen. Die Haushalte wissen also exakt wie die Volkswirtschaft funktioniert und können somit die Entwicklung von Lohn und Zinsen vorhersehen. Da es keine stochastichen Element gibt bewahrheiten sich die Vorhersagen der Haushalte immer.

Haushalte

Es gibt eine endliche Anzahl an identischen Haushalten mit einem unendlichen Zeithorizont. Da alle Haushalte identisch sind kann man sich auf einen Haushalt konzentrieren und dessen Verhalten dann mit der Anzahl der Haushalte mutliplizieren. Um den unendlichen Zeithorizont zu rechtfertigen kann man sich den Haushalt als eine Familie mit aufeinander folgenden Generationen vorstellen. Dabei übernimmt die Nachfolgende Generation sowohl Schulden als auch Vermögen der Vorgängergeneration. Jede Generation versucht den Gesamtnutzen durch für alle Generationen zu maximieren und berücksichtig bei ihrer jetztigen Konsumentscheidung die folgen für nachfolgende Generationen.

Jeder Haushalt hat $\textstyle L_{t}$ Mitglieder und wächst mit der konstanten Rate $\textstyle n$.

$L_{t}=L_{0}e^{nt}$

Jedes Familienmitglied stellt genau eine Arbeitseinheit pro Zeiteinheit zur Verfügung. Durch das Bevölkerungswachstum wird also auch das Wachstum der Arbeitskraft. Da nur ein homogens Gut produziert wird muss nur darüber entschieden werden wie das aktuelle Einkommen zwischen Konsum und sparen verteilt wird.

Intertemporale Nutzenfunktion

Im folgenden wir ein einzelner Haushalt betrachtet. Der Lebensnutzen des Haushaltes lässt sich durch eine additive intertemporatel Nutzenfunktion mit einer konstanten Zeitpräferenzrate $\textstyle \rho$ bestimmen. Vom Zeitpunkt 0 ausgehend ergibt sich folgende Funktion:

$U_{0}={\int \limits _{0}^{\infty }}u(c_{t})L_{t}e^{-\rho t}{\rm {d}}t$

dabei ist $\textstyle c(t)={\frac {C_{t}}{L_{t}}}$ der Konsum pro Haushaltsmitglied. Die Nutzenfunktion $\textstyle u(t)$ erfüllt die Inada-Bedingungen: abnehmender aber positiver Grenznutzen. Der Nutzen pro Haushaltsmiglied wird mit der Anzahl der Mitglieder $L_{t}$ multipliziert. Ersetzt man $L_{t}$ durch Gleichung (1) und entfernt das positive aber für die weiteren Berechnungen zu vernächlässsigende $L_{0}$ so ergibt sich folgendes:

$U_{0}={\int \limits _{0}^{\infty }}u(c_{t})e^{-(\rho -n)t}{\rm {d}}t$

Die Haushalte werden den Konsumplan wählen der $U_{0}$ maximiert, dabei müssen Sie die Budgetbeschränkung berücksichtigen. Diese setzt sich aus der dynamischen Bilanzidendität und der der No-Ponzi-Game Bedingung zusammen. Die dynamische Bilanzidendität ergibt sich zu

${\dot {A}}_{t}=r_{t}A_{t}+\omega _{t}L_{t}-c_{t}L_{t}$ $A_{0}$ wird als gegeben angenommen

Das Einkommen aus Kapital$A_{t}$ und Arbeit abzüglich des Konsums ergibt die Veränderung des Kapitalstocks $\textstyle {\dot {A}}$. Übersteigen die Einnahmen die Ausgaben so wird gespart, im umgekehrten Fall werden Ersparnissse aufgelöst, entspart. Wird so stark enstpart, dass Schulden entstehe, so ist $A$ negativ. Die No-Ponzi-Game Bedingung

$\lim _{t\to \infty }A_{t}e^{-{\int \limits _{0}^{t}}r_{s}}{\rm {d}}t$

verhindert, dass das die Haushalte sich übermäsig verschulden.

Unternehmen

Es gibt eine große Anzahl an Firmen, die Versuchen Ihren Gewinn unter vollkommenr Konkurrenz zu maximieren. Alle Firmen besitzen die selbe neo-klassiche Produktsionsfunktion $Y=F(K_{t},L_{t})$. In Gleichung steht $Y$ für das Output, $K_{t}$ für das eingesetzte Kapital und $L_{t}$ für die Anzahl der verwendeten Arbeitseinheiten. Das Ableiten der Gewinnfunktion führt zu den beiden folgenden Optimalitätsbedingungen:

${\frac {dF(K_{t},L_{t})}{dK_{t}}}=r_{t}$

${\frac {dF(K_{t},L_{t})}{dL_{t}}}=w_{t}$

Zentrale Gleichung des Ramsey-Cass-Koppmann Modells

Wie das Solow-Swan model, startet das Ramsey-Cass-Koopmans Modell mit eine aggregierten Produktionsfuntion, die die Inada Bedingungen erfülls keine stochasticht und die Form einer Cobb-Douglas Funktion hat. Die Produktionsfunktion $F(K,AL)$, hängt dabei vom Faktor Kapitalstock K, der Arbeitmenge L und der Technologie A. The Betrag der Arbeit isg gleich der Bevölkerung in der Volkswirtschaft und wächst mit der konstanten Rate n. Die Technologie wächst mit der mit der konstanten Rate g.

Die erst Schlüssel Gleichung des Ramsey-Cass-Koopmanns Modell ist das Gesetz der Veränderung der Kapitalakumulation:

${\dot {k}}=f(k)-c-(n+g+\delta )k$

$k$ Kapitalstock pro Arbeiter

${\dot {k}}$ Veränderung des Kapitalstocks pro Arbeiter über die Zeit ${\frac {dk}{dt}}$

Phasendiagramm des Ramsey-Cass-Koopmanns-Modell Auf der g(k)=0 Linie verändert sich der Kapitalstock nicht. Auf g(c)=0 Linie bleibt der Konsum über die Zeit konstant.

$f(k)$ die Produktion pro Arbeiter

$c$ Konsum

$n$ Wachstum der Arbeiterzahl

$g$ Wachstum der Technologie

$\delta$ Abschreibungsquote

Wenn vereinfachend angenommen wird, dass das Wachstum der Arbeiter und Technologie null ist so lässt sich die Gleichung intuitiv erklären. Die Veränderung des Kapitalstock ist gleich dem Betrag der Investiert (Einkommen/Produktion minus Konsum) wird minus der Abschbreibungen.

In dem Modell existieren potenziell optimale "Steady-State" Zustände in denen denen der Kapitalstock sich nicht mehr (weiter) verändert (${\dot {k}}=0$). Jetzt muss nur noch der Steady State Zustand bestimmt werden bei dem der Konsum $c$ maximiert wird. Dadurch wird auch die optimale Sparrate $s=1-c$ definiert. Dieser Punkt wird nach der "Goldenen Regel der Kapitalakkumulation" bestimmt, vorgeschlagen von Edmund Phelps in 1961.

Alle Steady-State Zustände durch folgende Gleichung Charakterisiert:

$I=sY=(1-c)Y=\delta K$

Dabei ist $s$ die Sparrate (der Anteil des Einkommens der gespart wird),$Y$ das Einkommen/Produktion und $K$ der Kapitalstock. Die Investititonen entsprechen also genau den Abschreibungen. Alle Punkte die diese Bedingung erfüllen sind auf der rechten Graphik

Die zweite Gleichung des Ramsey-Cass-Koopmans Modell bezieht sich auf das Sparverhalten der Haushalte und ist weniger intuitiv. Wenn die Haushalte ihren Nutzen über die Zeit optimieren so müssen sie stehts abwegen ob heute oder lieber morgen Konsumiert werden soll. Man spricht von intertemporaler Nutzenmaximierung. Der Haushalt betrachtet stets den Beitrag zum Lebensnutzen einer marginalen weiteren Konsumeinheit heute mit dem Beitrage zum Lebensnutzen einer weiteren marginalen Konsumeinheit in der Zukunft. Dabei ist zu berücksichtigen, dass der aktuelle Konsum stehts dem Konsum in der Zukunft vorgezogen wird. Gleichzeitig erhält der Haushalt durch sparen Zinsen, kann also mehr konsumieren. Zusätzlich besitzt die Nutzenfunktion einen abnehmenden Grenznutzen, dies führt dazu, dass ein möglichst gleichmäßig Verteilter Konsum über die Zeit optimal ist.

${\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}*($

( ) ( ) ( ) [ ( ) ] . ˆ 1 cˆ ⋅ cdˆ dt = 1 θ ⋅ 'f k − δ − ρ − θx

The second equation concerns the saving behavior of households and is less intuitive. If households are maximizing their consumption intertemporally, at each point in time they equate the marginal benefit of consumption today with that of consumption in the future, or equivalently, the marginal benefit of consumption in the future with its marginal cost. Because this is an intertemporal problem this means an equalization of rates rather than levels. There are two reasons why households prefer to consume now rather than in the future. First, they discount future consumption. Second, because the utility function is concave, households prefer a smooth consumption path. An increasing or a decreasing consumption path lowers the utility of consumption in the future. Hence the following relationship characterizes the optimal relationship between the various rates:

rate of return on savings = rate at which consumption is discounted − percent change in marginal utility times the growth of consumption.

Mathematically:

A class of utility functions which are consistent with a steady state of this model are the isoelastic or constant relative risk aversion (CRRA) utility functions, given by:

In this case we have:

Then solving the above dynamic equation for consumption growth we get:

which is the second key dynamic equation of the model and is usually called the "Euler equation".

With a neoclassical production function with constant returns to scale, the interest rate, r, will equal the marginal product of capital per worker. One particular case is given by the Cobb–Douglas production function

which implies that the gross interest rate is

hence the net interest rate r

Setting and equal to zero we can find the steady state of this model.