Benutzer:DocChnyder/McCabe-Thiele-Verfahren

Das McCabe-Thiele-Verfahren ist ein grafisches Auswerteverfahren für die mehrstufige, kontinuierliche Destillation (Rektifikation (Chemie)) eines Zweistoffgemisches.

Prinzipieller Aufbau einer Rektifikationskolonne und Begriffsbestimmung

Zur Herleitung des McCabe-Thiele-Verfahrens wird die Rektifikationskolonne gedanklich in N hintereinander geschaltete theoretische Trennstufen eingeteilt.

Am Kopf der Kolonne befindet sich ein Kondensator, der den aus der ersten (obersten) theoretischen Trenstufe tretenden Dampfstrom vollständig kondensiert. Ein Teil dieses kondesierten Stromes wird als Rücklauf ${\dot {R}}$ in die erste Stufe zurückgeführt. Der restliche Teil verlässt als (reines) Destillat ${\dot {D}}$ die Kolonne.

Irgendwo in der Mitte der Kolonne befindet sich die Zulaufstufe, in die nicht nur Dampf aus der darunter und Flüssigkeit aus der darüber liegenden Trennstufe eintreten, sondern auch noch der zu trennende Stoffstrom (engl. feed) ${\dot {F}}$.

Am Sumpf der Kolonne befindet sich ein Verdampfer, der einen Teil der Flüssigkeit, die die letzte (unterste) Stufe verlässt, verdampft. Der restliche Teil verlässt als Sumpfprodukt (engl. bulk) ${\dot {B}}$ die Anlage.

Der Dampfstrom (engl. gas) innerhalb des Verstärkungsteils der Kolonne wird mit ${\dot {G}}$, der Flüssigkeitstrom mit ${\dot {L}}$ bezeichnet. Im Abtriebsteil der Kolonne heißen die Ströme ${\dot {L}}'$ und ${\dot {G}}'$, da sich die Menge aufgrund des Zulaufs (Feeds) ändern kann.

Die Zusammensetzungen der einzelnen Ströme lauten:

$x_{F,i}$ für den flüssigen Anteil x der Komponente i am Feed;

$y_{F,i}$ für den dampfförmigen Anteil y der Komponente i am Feed;

$x_{D,i}$ für den flüssigen Anteil x der Komponente i am Destillat;

$y_{D,i}$ für den dampfförmigen Anteil y der Komponente i am Destillat;

$x_{B,i}$ für den flüssigen Anteil x der Komponente i am Sumpfprodukt;

$y_{B,i}$ für den dampfförmigen Anteil y der Komponente i am Sumpfprodukt;

$x_{n,i}$ für den flüssigen Anteil x der Komponente i, der die n-te Stufe verlässt;

$y_{n,i}$ für den dampfförmigen Anteil y der Komponente i , der die n-te Stufe verlässt;

$x_{n-1,i}$ für den flüssigen Anteil x der Komponente i, der der n-ten Stufe zuströmt;

$y_{n+1,i}$ für den dampfförmigen Anteil y der Komponente i , der der n-ten Stufe zuströmt.

Voraussetzungen

Das McCabe-Thiele-Verfahren beruht auf folgenden Annahmen:

1. Der Druckverlust entlang der Kolonne ist gleich Null. Daraus ergibt sich, dass ein x,y-Diagramm (Gleichgewichtsdiagramm) bei konstantem Druck verwendet werden kann. Diese Annahme ist gerechtfertigt, da der Druckverlust der industriell relevanten Einbauten, wie Böden, Füllkörper oder strukturierte Packungen tatsächlich häufig sehr gering ist.
2. Der Kondensator am Kopf der Kolonne kondensiert den Dampfstrom gerade zur siedenden Flüssigkeit, d. h. dass der den Kondensator verlassende flüssige Strom eine siedende Flüssigkeit ist.
3. Die Kolonne arbeitet in einem stationären Betriebspunkt, d. h. es treten keine Änderungen der Zusammensetzung der dampfförmigen oder flüssigen Ströme mit der Zeit auf.
4. Es treten keine chemischen Reaktionen auf.
5. Die Kolonne arbeitet adiabat, d. h. es treten keine Wärmeverluste auf.
6. Die Verdampfungsenthalpie der reinen Stoffe ist gleich.
7. Die Mischungsenthalpie ist vernachlässigbar.

Aus den Punkten 5 bis 7 folgt die äquimolare Verdampfung und Kondesation, die besagt, dass die in die theoretische Trennstufe eintretenden und austretenden Stoffströme gleich sind. Nur die Zusammensetzung der ein- und austretenden Ströme ändert sich.

Herleitung der Verstärkungsgeraden

Eine Gesamtstoffmengenbilanz um den Verstärkungsteil lautet:

${\dot {G}}={\dot {L}}+{\dot {D}}$       (1)

Die Stoffmengenbilanz für die Komponente i lautet:

${\dot {G}}y_{n+1,i}={\dot {L}}x_{n,i}+{\dot {D}}x_{D,i}$        (2)

mit (1) ergibt sich daraus

$y_{n+1,i}={\frac {\dot {L}}{{\dot {L}}+{\dot {D}}}}x_{n,i}+{\frac {\dot {D}}{{\dot {L}}+{\dot {D}}}}x_{D,i}$        (3)

Mit der Definition des Rücklaufverhältnisses am Kopf der Kolonne

$v={\frac {\dot {R}}{\dot {D}}}$,        (4)

einer Bilanz um den Kondensator

${\dot {G}}={\dot {R}}+{\dot {D}}$        (5)

und dem Hinweis, dass

${\dot {L}}={\dot {R}}$

ist, folgt direkt aus Gleichung (3)

$y_{n+1,i}={\frac {v}{v+1}}x_{n,i}+{\frac {1}{v+1}}x_{D,i}$        (6)

die Verstärkungsgerade für das McCabe-Thiele-Diagramm.

Herleitung der Abtriebsgeraden

Eine Gesamtstoffmengenbilanz um den Abtriebsteil lautet:

${\dot {L}}'={\dot {G}}'+{\dot {B}}$        (7)

Die Stoffmengenbilanz für die Komponente i lautet:

${\dot {L}}'x_{n,i}={\dot {G}}'y_{n+1,i}+{\dot {B}}x_{B,i}$        (8)

mit (7) ergibt sich daraus

$y_{n+1,i}={\frac {{\dot {L}}'}{{\dot {L}}'-{\dot {B}}}}x_{n,i}-{\frac {\dot {B}}{{\dot {L}}'-{\dot {B}}}}x_{B,i}$.        (9)

Dies ist die Gleichung der Abtriebsgeraden im McCabe-Thiele-Diagramm. Sie wird im nächsten Punkt durch die Bilanzen um die Zulaufstufe mit der Verstärkungsgeraden kombiniert.

Bilanz um die Zulaufstufe

Die Bilanzen (inkl. der Enthalpiebilanz) um die Zulaufstufe lauten:

${\dot {F}}+{\dot {L}}+{\dot {G}}'={\dot {G}}+{\dot {L}}'$        (10)

${\dot {F}}x_{F,i}+{\dot {L}}x_{n-1,i}+{\dot {G}}'y_{n+1,i}={\dot {G}}y_{n,i}+{\dot {L}}'x_{n,i}$        (11)

${\dot {F}}H_{F}+\sum _{i=1}^{K}\left({\dot {L}}x_{n-1,i}H_{i}^{L}+{\dot {G}}'y_{n+1,i}H_{i}^{V}\right)=\sum _{i=1}^{K}\left({\dot {G}}y_{n,i}H_{i}^{V}+{\dot {L}}'x_{n,i}H_{i}^{L}\right)$        (12)

Unter Einführung der Abkürzung

$q:={\frac {{\dot {L}}'-{\dot {L}}}{\dot {F}}}={\frac {{\dot {G}}'-{\dot {G}}}{\dot {F}}}+1={\frac {\sum _{i=1}^{K}x_{F,i}H_{i}^{V}-H_{F}}{\Delta H_{V}}}$        (13)

und unter Berücksichtigung der Gesamtbilanz ergibt sich daraus die Gleichung für die q-Linie im McCabe-Thiele-Diagramm

$y_{n+1,i}={\frac {q}{q-1}}x_{n,i}-{\frac {1}{q-1}}x_{F,i}$,        (14)

auf der alle Schnittpunkte zwischen Abtriebs- und Verstärkungsgeraden liegen. Doch was kann mit diesen Herleitungen angefangen werden?