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Die Tontafel Plimpton 322

In der Mathematik wird ein pythagoreisches Tripel oder pythagoreisches Zahlentripel von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks vorkommen können.

Sie finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr). Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel, u. a. $(56,90,106)$, $(119,120,169)$ und $(12709,13500,18541)$, was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt gewesen sein muss.

Das indische Baudhayana-Sulbasutra aus dem 6. Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.

Pythagoreische Tripel wurden auch von Diophant behandelt. Wegen des pythagoreischen Lehrsatzes sind sie genau die positiven ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Wenn $x$, $y$ und $z$ keinen gemeinsamen Teiler haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel. Bei jedem primitiven Tripel ist $z$ ungerade, und von den Zahlen $x$ und $y$ ist eine gerade und die andere ungerade.

Beispiele

• Das kleinste pythagoreische Tripel ist (3, 4, 5). Es ist primitiv.
• Weitere kleine primitive pythagoreische Tripel sind (5, 12, 13) und (8, 15, 17).
• (15, 20, 25) = (5·3, 5·4, 5·5) und (15, 36, 39) = (3·5, 3·12, 3·13) sind nicht primitiv.

Erzeugung der pythagoreischen Tripel

Die Formeln

$x=u^{2}-v^{2}$

$y=2uv$

$z=u^{2}+v^{2}$

liefern für beliebige $u,v\in \mathbb {N} ,u>v$ ein pythagoreisches Tripel. Es ist genau dann primitiv, wenn $u$ und $v$ teilerfremd und nicht beide ungerade sind.

Diese Formeln werden auch indische Formeln genannt, da sie explizit schon von dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) angegeben werden.

Beispiele:

• u = 2, v = 1 liefert das Tripel (3, 4, 5).
• Multiplikation mit 2 liefert (6, 8, 10). Es ergibt sich nach den „indischen Formeln“ aus u = 3, v = 1. Weil 3 und 1 beide ungerade sind, ist es trotzdem nicht primitiv.
• u = 3, v = 2 liefert das primitive Tripel (5, 12, 13).

Die ersten primitiven pythagoreischen Tripel

Nach diesen Regeln erhält man als primitive pythagoreische Tripel zum Beispiel:

u	v	x	y	z
2	1	3	4	5
4	1	15	8	17
3	2	5	12	13
6	1	35	12	37
5	2	21	20	29