Benutzer:Georg Roch/Spielwiese

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Funktionen, auch spricht man oft von Abbildungen, ordnen mathematischen Objekten mathematische Objekte zu, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Üblicherweise, so auch im vorliegenden Artikel, gelten nur solche Zuordnungen als Funktionen die eindeutig sind, das heißt, die keinem Objekt mehr als 1 Objekt zuordnen.  Funktionen stehen wie die Mengen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt.

Allgemeine Definitionen und Notationen

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Man sieht, wenn eine Funktion dem Objekt das Objekt zuweist, das geordnete Paar als Element vom an und schreibt für auch .

Funktionsargument, Funktionswert, Definitionsbereich, Bildbereich, injektiv
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  • Ist , dann nennt man
ein »Funktionsargument von für (den Funktionswert) «
den »Funktionswert von für (das Funktionsargument) « und bezeichnet ihn mit
  • Die Funktionsargumente von bilden den »Definitionsbereich von «, den man mit bezeichnet; formal:
  • Die Funktionswerte von bilden den »Bildbereich von «, den man mit bezeichnet; formal:
  • Gibt es zu jedem Element nur 1 Funktionsargument von für , dann heißt »injektiv«
Klassifikation bezüglich Definitions- und Bildbereiche: totale-, surjektive-, bijektive Funktion aus A in B
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Ist    und  ,  dann nennt man eine »Funktion aus in « mit den Attributen »total«, wenn und »surjektiv«, wenn .
Eine surjektive Funktionen aus in , die injektiv ist, nennt man »bijektive Funktionen aus in «.

Man sagt auch      anstelle von
ist eine Funktion von in/auf ist eine totale Funktion aus in/auf
ist eine Funktion aus/von auf ist eine surjektive Funktion aus/von in
ist eine partielle Funktion von in/auf ist eine Funktion aus in/auf und

Für die Aussage “ ist eine Funktion aus in ” schreibt man “” und setzt auf den Pfeil Abkürzungen oder Anfangsbuchstaben zutreffender Attribute (total, surjektiv, injektiv, bijektiv, partiell).

Übliche Pfeilalternativen:         
                 
              
              
Der herkömmliche Funktionsbegriff, Funktion als Tripel oder geordnetes Paar, Graph einer Tripel/Paar-Funktion
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Im herkömmlichen Funktionsbegriff, der vielfach in der Literatur anzutreffen ist, sind alle Bestandteile der Aussage    Mengen, während im allgemeineren Funktionsbegriff es auch echte Klassen sein können. Demnach ist zum Beispiel die Potenzmengenfunktion, die jeder Menge die Menge ihrer Teilmengen zuordnet, im Sinne des herkömmlichen Funktionsbegriffs keine Funktion, im Sinne des allgemeineren jedoch.

In einiger Literatur findet sich der Funktionsbegriff auch noch anders definiert, indem man im Rahmen des herkömmlichen Funktionsbegriffs die Aussagen und als Tripel respektive geordnetes Paar ansieht und ihren »Graph« nennt.

Wie man Funktionen beschreiben kann
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Bei endlichen Funktionen kann man die Menge ihre Elemente explizit angeben, zum Beispiel mittels einer zweizeiligen oder zweispaltigen Tabelle.

Eine in vielen Fällen ausreichende Beschreibungsform einer Funktion  lautet  ,  wobei ein Term ist.
Man schreibt hierfür üblicherweise

  •    oder
  • .

Bestimmen sich und aus dem Kontext, dann verzichtet man auf den Passus “

Beispiele:     oder   .   Im Kontext reellzahliger Funktionen:      oder 

       oder   .   Das ist die Funktion 
Mehrstellige Funktion/Verknüpfung, binäre Verknüpfung
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Sind für n>1 in alle Elemente n-Tupel, dann nennt man eine »n-stellige Funktion« oder »n-stellige Verknüpfung«, für n=2 auch »binäre Verknüpfung« und schreibt für auch , wenn n=2 auch , wählt man hier als Funktionsnamen das Zeichen “”, dann schreibt man anstelle auch einfach .

Beschränkung einer Funktion
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Man nennt

  • »Beschränkung für aus in «
  • »Beschränkung für in «
  • »Beschränkung für aus «
Auswahlfunktion, Kartesisches Produkt
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Es seien heißt »Auswahlfunktion zu «, wenn für alle gilt: .
Die Gesamtheit der Auswahlfunktionen zu nennt man »kartesisches Produkt über « und bezeichnet es mit .
Ist , dann schreibt man für auch

Komposition/Verkettung zweier Funktionen
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Es seien .  Die Funktion nennt man  »Komposition«  oder »Verkettung von und «

Funktion auf A, Identität, Fixpunkt, idempotente Funktion, Involution, Permutation
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  • nennt man »Funktion auf «
  • Die Funktion heißt »Identität auf «
  • Ist eine Funktion auf und , sodass , dann nennt man einen »Fixpunkt von «

Man nennt eine Funktion, , auf

  • »idempotent«, wenn
  • eine »Involution«, wenn
  • eine »Permutation«, wenn sie bijektiv ist.