Benutzer:Jobu0101/Pythagoreische Tripel

Pythagoreische Tripel

Aufgabe

Es werden alle ganzzahligen nicht negativen Lösungen für diese Gleichung gesucht: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Dabei muss, wie man schnell sieht, $c\geq a$ und $c\geq b$ gelten. Also können wir ein $d\in \mathbb {N} _{0}$ mit der Eigenschaft $b+d=c$ definieren.

Lösung

$n\in \mathbb {N} _{0}$

Die Lösung ist folgende für d=0:

$a_{n}=0$

$b_{n}=n$

$c_{n}=n$

Ist d ungerade, gilt diese Lösung:

$a_{n}=d\cdot (2n+1)$

$b_{n}=d\cdot 2n(n+1)$

$c_{n}=d\cdot (2n^{2}+2n+1)$

Ist d gerade und ungleich 0, gilt diese Lösung:

$a_{n}=d\cdot (n+1)$

$b_{n}=d\cdot {\frac {n(n+2)}{2}}$

$c_{n}=d\cdot \left({\frac {n(n+2)}{2}}+1\right)$

Damit sind alle Pythagoreischen Tripel ganzzahlige Vielfache der Lösungen für d=1 und d=2.

PS: Die drei Zahlen a,b und c sind ja ganze Zahlen, doch liefert unsere Lösung nur positive Tripel. Die negativen Lösungen können durch umkehren der Vorzeichen erhalten werden, dabei ist es völlig egal, ob man nun eins, zwei oder alle drei Vorzeichen umgekehrt.

Ein paar Beispiel dazu finden sich hier.