Benutzer:Kopiersperre/Induzierte Spannung

Die induzierte Spannung $\scriptstyle u_{i}$, gemessen in Volt, ist eine skalare physikalische Größe. Sie kann für orientierte geschlossene Raumkurven im Magnetfeld berechnet und gemessen werden. Die Raumkurve kann in Materie verlaufen, indem Sie die Orte der Querschnittsmittelpunkte eines Drahtleiters angibt, kann aber auch im leeren Raum zu Analysezwecken gedacht sein. Zwei Naturgesetze sind maßgeblich: Das magnetische Kraftgesetz nach Lorentz und das Induktionsgesetz nach Faraday.

Das Wirkprinzip der wesentlichen Betriebsmittel in der elektrischen Energietechnik - Generatoren, Motoren und Transformatoren - beruht auf induzierten Spannungen. Die Wechselspannung in den Haushaltssteckdosen ist ihrer Entstehung nach eine induzierte Spannung. Aber auch verlustbringende (Wirbel-)Ströme werden davon ausgelöst.

Motorisch induzierte Spannung

Betrachtet wird eine geschlossene Raumkurve $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ in einem bewegten Körper, welcher der magnetischen Flussdichte $\scriptstyle {\vec {B}}$ ausgesetzt ist. Jedem vektoriellen Linienelemente $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {s}}$ der Raumkurve ist seine Geschwindigkeit $\scriptstyle {\vec {v}}$ und die dort herrschende magnetische Flussdichte $\scriptstyle {\vec {B}}$ zugeordnet. Insbesondere kann die Raumkurve den Verlauf eines drahtförmigen Leiters im Raum angeben. Die festzulegende Orientierung der Linienelemente $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {s}}$ ist gleichbedeutend mit der Orientierung von $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$.

Für $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ ergibt sich die motorisch induzierte Spannung oder Bewegungsspannung zu

$u_{iM}=\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{}^{e}\!{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}\;\;\;\;\;{\text{mit}}\;\;\;\;\;\;\;\;{}^{e}\!{\vec {E}}={\vec {v}}\times {\vec {B}}.\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(1a,b)}}$

$\scriptstyle {}^{e}\!{\vec {E}}$ bezeichnet die durch die magnetische Flussdichte $\scriptstyle {\vec {B}}$ am Ort des vektoriellen Linienelements $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {s}}$ eingeprägte elektrische Feldstärke. Sie ist als ladungsbezogene Kraft (in Newton/Coulomb = Volt/Meter) zu deuten und durch den magnetischen Teil des Kraftgesetzes nach Lorentz bestimmt. Anders als die von Ladungen ausgehende „gewöhnliche“ elektrische Feldstärke $\scriptstyle {\vec {E}}$ ist die eingeprägte elektrische Feldstärke $\scriptstyle {}^{e}\!{\vec {E}}$ nur im bewegten Stoff vorhanden; sie setzt sich nicht in den Raum fort. Der voran- und hochgestellte Index e(ingeprägt) soll daran erinnern.

In einer drahtförmigen Leiterschleife mit der Verlaufskurve $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ treibt $\scriptstyle u_{iM}$ bei positivem Wert einen Strom mit der für $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ gewählten Orientierung an, abzulesen an der Orientierung der Linienelemente $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {s}}$.

Transformatorisch induzierte Spannung

Betrachtet wird die orientierte Raumkurve $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ des vorigen Abschnitts, wobei die Kurve hier auch im leeren Raum, z. B. zu Analyse-Zwecken, definiert sein kann. Die Geschwindigkeit der Linienelemente spielt keine Rolle.

Die transformatorisch induzierte Spannung oder Ruhespannung der Raumkurve ist durch

$u_{iT}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\text{d}}{\vec {A}}\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(2)}}$

definiert. Als Integrationsbereich erscheint in der Gleichung statt der Raumkurve $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ eine Fläche $\scriptstyle {\mathcal {A}}$. Das kann jede Fläche sein, die $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ als Rand hat. Man wird bequemlichkeitshalber einfache Flächen bevorzugen, z. B. bei ebener Raumkurve auch eine ebene Fläche.

Die nach der Zeit $\scriptstyle t$ partiell abzuleitende magnetische Flussdichte $\scriptstyle {\vec {B}}$ ist die am Ort des vektoriellen Flächenelements $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {A}}$ gültige. Die Orientierung der Flächenelement-Vektoren $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {A}}$ (gleichbedeutend mit der Orientierung der Fläche) ist rechtshändig mit der Orientierung der Raumkurve zu koordinieren. Vorsorglich sei angemerkt: Die transformatorisch induzierte Spannung ist gleich dem negativen (mathematischen) Fluss der Ableitung der magnetischen Flussdichte; diese Größe ist wohl zu unterscheiden von der negativen Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit, die im folgenden Abschnitt auftritt.

Das Induktionsgesetz setzt die rechte Seite von Gl. (2) mit der elektrischen Umlaufspannung gleich.

Während die motorisch induzierte Spannung auf der Leiterkurve gemäß dem Ort der eingeprägten elektrischne Feldstärke $\scriptstyle {}^{e}\!{\vec {E}}_{t}$ lokalisierbar ist, ist dies für die transformatorisch induzierte Spannung nicht möglich. Sie gilt für die Kurve als Ganzes.

In einer drahtförmigen Leiterschleife mit der orientierten Verlaufskurve $\scriptstyle \partial {\mathcal {A}}$ treibt $\scriptstyle u_{iM}$ bei positivem Wert einen Strom an, der wie die Leiterschleife orientiert ist. Dabei ist vorausgesetzt, dass (s. o.) die Orientierungen von Fläche und Randkurve rechtshändig zueinander gewählt sind.

Induzierte Spannung

Die motorisch und die transformatorisch induzierte Spannung können gemäß

$u_{i}=u_{iM}+u_{iT}\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(3)}}$

algebraisch zur induzierten Spannung

$u_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(4)}}$

zusammengefasst werden. Dabei wird benutzt, dass die magnetische Flussdichte $\scriptstyle {\vec {B}}$ gemäß $\scriptstyle {\text{div}}{\vec {B}}=0$ ein quellenfreier Vektor ist. Die Bedeutungen von $\scriptstyle t,\;{\mathcal {A}},\;{\vec {B}}\;$ und $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {A}}$ bleiben wie oben, ebenso die rechtshändige Koordination der Orientierungen. Allerdings steht auf der rechten Seite von Gl. 4 die negative Ableitung des magnetischen Flusses (und nicht - wie in Gl. (2) - der negative (mathematischen) Fluss der Ableitung der magnetischen Flussdichte). Der auf das Integral wirkende Ableitungsoperator erfasst nicht nur den Integranden, sondern auch die Veränderung der Integrationsfläche, die ein mit den Geschwindigkeiten $\scriptstyle {\vec {v}}$ bewegter Rand nach sich zieht.

Die induzierte Spannung nach Gl. 4, die als Flussregel bezeichnet wird, fasst die Wirkung des Kraftgesetzes nach Lorentz und das Induktionsgesetz nach Faraday zusammen. Ihr Wert hängt, anders als die Werte von $u_{iM}$ und $u_{iT}$, nicht von der Wahl des (unbeschleunigten) Koordinatensystems ab (vgl. hierzu das zweite Beispiel).

Darstellung mit Vektorkoordinaten

Nach den Regeln der Vektorrechnung können die oben angegebenen induzierten Spannungen gleichwertig in der Form

$u_{iM}=\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{}^{e}\!E_{t}{\text{d}}s\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(1a')}}$

$u_{iT}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial B_{n}}{\partial t}}{\text{d}}A\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(2')}}$

und

$u_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}B_{n}{\text{d}}A\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{(4')}}$

angegeben werden. $\scriptstyle B_{n}$ bezeichnet die (Normal-)Koordinate der magnetischen Flussdichte am Ort und in Richtung des vektoriellen Flächenelements, $\scriptstyle {\text{d}}A$ dessen Inhalt (Betrag) und $\scriptstyle {}^{e}\!E_{t}$ die (Tangential-)Koordinate der eingeprägten Feldstärke am Ort und in Richtung des vektoriellen Linienelements $\scriptstyle {\text{d}}{\vec {s}}$, dessen Länge (Betrag) gleich $\scriptstyle {\text{d}}s$ ist.

Unabhängig von der Darstellung der Integrale können diese - wie viele andere auch - in manchen Fällen bequem durch Produktbildung (Feldstärke mal Länge oder Flussdichte(-Ableitung) mal Flächeninhalt, s. Beispiele 1 und 2 unten) exakt gelöst werden.

Beispiel 1: Atmender Kreisring

Atmender Kreisring im Magnetfeld

Ein leitender Kreisring (Abbildung rechts), dessen Radius zeitproportional nach $\scriptstyle r=vt$ wächst, befindet sich in der x-y-Ebene in einem homogenen magnetischen Flussdichtefeld mit der zeitproportionalen z-Koordinate $\scriptstyle {\frac {B_{0}}{T}}t$. Anzugeben sind die induzierten Spannungen $\scriptstyle u_{iT},\,u_{iM}$ und $\scriptstyle u_{i}$.

Lösung: Die Geschwindigkeit $\scriptstyle v$ jedes Linienelements ist radial gerichtet, womit $\scriptstyle {}^{e}\!{\vec {E}}$ nach Gl. (1b) antiparallel zum Linienelement verläuft, d. h. im Uhrzeigersinn. Damit ergibt sich $\scriptstyle {}^{e}\!E_{t}=-v{\frac {B_{0}}{T}}t$ und $\scriptstyle u_{iM}={}^{e}\!E_{t}\cdot 2\pi r=-2\pi v^{2}{\frac {B_{0}}{T}}t^{2}.$ Für die partielle Ableitung $\scriptstyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial t}}=:{\dot {B}}_{n}$ der Flussdichte-Normalkoordinate erhält man $\scriptstyle {\dot {B}}_{n}={\frac {B_{0}}{T}}$. Damit folgt $\scriptstyle u_{iT}=-{\dot {B}}_{n}\cdot \pi r^{2}=-\pi v^{2}{\frac {B_{0}}{T}}t^{2}$. Die induzierte Spannung beträgt nach Gl. (3) $\scriptstyle u_{i}=-3\pi v^{2}{\frac {B_{0}}{T}}t^{2}$. Nach Gl. (4') ergibt sich die induzierte Spannung zu $\scriptstyle u_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(B_{n}\cdot \pi r^{2}\right)=-3\pi v^{2}{\frac {B_{0}}{T}}t^{2}$, wie auf Grund der vorherigen Rechnung zu erwarten war.

Hinweise: Im Bild wird der Vektorpfeil für das Linienelement auch als Bezugspfeil verwendet. Mehrfachbedeutung auch für den (Punkt-)Pfeil der z-Achse! Alle Integrale sind hier exakt als Produkte auswertbar.

Erweiterung des Beispiels: Der Kreisring in der x-y-Ebene werde dort durch eine beliebig geformte geschlossene Kurve ersetzt, die den zeitabhängigenn Flächeninhalt $\scriptstyle A$ umschließt. Die Kontur bewege sich - wie der Kreisring - an jedem Punkt in ihrer Ebene mit der Geschwindigkeit $\scriptstyle v$ senkrecht zur Kurve nach außen.

Lösung: Wegen $\scriptstyle {\text{d}}A=v{\text{d}}t\cdot L$ gilt für die gestreckte Länge der Kurve $\scriptstyle L={\dot {A}}/v$. Damit erhält man für die oben definierten Integrale $\scriptstyle u_{iM}=-vBL=-vB{\dot {A}}/v=-B{\dot {A}},\;u_{iT}=-{\dot {B}}A$ und $\scriptstyle u_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(BA\right)=-(B{\dot {A}}+{\dot {B}}A)$.

Beispiel 2: Bewegter Rechteckleiter im Wanderfeld

Rechteck-Leiterschleife im magnetischen Wanderfeld

Eine dünne rechteckige Leiterschleife (Abbildung rechts) mit den Kantenlängen a in y-Richtung und b in x-Richtung wird in der x-y-Ebene mit der Geschwindigkeit $v$ in +x-Richtung transportiert. Im Raum herrscht ein orts- und zeitlineares ebenes Wanderfeld mit der z-Koordinate $\scriptstyle B=B_{0}\cdot \left(x/b-t/T\right)$. Gesucht sind die induzierten Spannungen $\scriptstyle u_{iT},\,u_{iM}$ und $\scriptstyle u_{i}$ in verschiedenen Koordinatensystemen.

Lösung: Siehe Tabelle! Alternativ zum Ausgangssystem (Spalte A), in dem das Flussdichtefeld gegeben ist, wird eine leiterfeste Koordinate (Spalte B) verwendet, in welcher der Leiter ruht und - in Spalte C - eine Koordinate, die mit der Geschwindigkeit des Wanderfeldes mitläuft, so dass das Feld „einfriert“, also zeitunabhängig erscheint. Die Ergebnisse sind in der Tabelle zusammengestellt. Wie zu erwarten, hängt die induzierte Spannung nicht vom Koordinatensystem ab, die motorische und transformatorische Komponente sehr wohl.

Wenn der Leiterrahmen (oder der Ring in Beispiel 1) an einer Stelle unterbrochen wird, erhält man dort die Spannung $\scriptstyle u=u_{i}$. Vorausgesetzt ist dabei, dass der Bezugspfeil von $\scriptstyle u$ gleich orientiert eingeführt wird, wie der von $\scriptstyle u_{i}$, d. h. rechtshändig zur z-Achse.

Induzierte Spannung in einem in +x-Richtung bewegten Rechteck-Rahmen im Wanderfeld in drei verschiedenen Koordinaten

	A	B	C
Ortskoordinate	Ausgangskoordinate $\scriptstyle x$	Rahmensynchron $\scriptstyle x'$	Feldsynchron $\scriptstyle x''$
Transformationsgleichung	$\scriptstyle \cdot /\cdot$	$\scriptstyle x'=x-vt$	$\scriptstyle x''=x-{\frac {b}{T}}t$
Magnetische Flussdichte, z-Koordinate	$\scriptstyle B=B_{0}\left({\frac {x}{b}}-{\frac {t}{T}}\right)$	$\scriptstyle B'=B_{0}\left({\frac {x'+vt}{b}}-{\frac {t}{T}}\right)$	$\scriptstyle B''=B_{0}{\frac {x''}{b}}$
Position linke Rahmenseite	$\scriptstyle x_{\ell }=vt$	$\scriptstyle x'_{\ell }=0$	$\scriptstyle x''_{\ell }=\left(v-{\frac {b}{T}}\right)t$
Geschwindigkeit linke Rahmenseite	$\scriptstyle {\dot {x}}_{\ell }=v$	$\scriptstyle {\dot {x}}'_{\ell }=0$	$\scriptstyle {\dot {x}}''_{\ell }=\left(v-{\frac {b}{T}}\right)$
Position rechte Rahmenseite	$\scriptstyle x_{r}=vt+b$	$\scriptstyle x'_{r}=b$	$\scriptstyle x''_{r}=\left(v-{\frac {b}{T}}\right)t+b$
Geschwindigkeit rechte Rahmenseite	$\scriptstyle {\dot {x}}_{r}=v$	$\scriptstyle {\dot {x}}'_{r}=0$	$\scriptstyle {\dot {x}}''_{r}=\left(v-{\frac {b}{T}}\right)$
Motorisch induzierte Spannung links	$\scriptstyle u_{iM\ell }=B_{0}\left({\frac {vt}{b}}-{\frac {t}{T}}\right)va$	$\scriptstyle u'_{iM\ell }=0$	$\scriptstyle u''_{iM\ell }=\left(v-{\frac {b}{T}}\right)B_{0}{\frac {\left(v-{\frac {b}{T}}\right)t}{b}}a$
Motorisch induzierte Spannung rechts	$\scriptstyle u_{iMr}=-B_{0}\left({\frac {vt+b}{b}}-{\frac {t}{T}}\right)va$	$\scriptstyle u'_{iMr}=0$	$\scriptstyle u''_{iMr}=-\left(v-{\frac {b}{T}}\right)B_{0}{\frac {\left(v-{\frac {b}{T}}\right)t+b}{b}}a$
Motorisch induzierte Spannung	$\scriptstyle u_{iM}=u_{iM\ell }+u_{iMr}=-vB_{0}a$	$\scriptstyle u'_{iM}=u'_{iM\ell }+u'_{iMr}=0$	$\scriptstyle u''_{iM}=u''_{iM\ell }+u''_{iMr}=-\left(v-{\frac {b}{T}}\right)B_{0}a$
Ableitung der Flussdichtekoordinate	$\scriptstyle {\frac {\partial B}{\partial t}}=-{\frac {B_{0}}{T}}$	$\scriptstyle {\frac {\partial B'}{\partial t}}=B_{0}\left({\frac {v}{b}}-{\frac {1}{T}}\right)$	$\scriptstyle {\frac {\partial B''}{\partial t}}=0$
Transformatorisch induzierte Spannung	$\scriptstyle u_{iT}={\frac {b}{T}}B_{0}a$	$\scriptstyle u'_{iT}=-abB_{0}\left({\frac {v}{b}}-{\frac {1}{T}}\right)$	$\scriptstyle u''_{iT}=0$
Induzierte Spannung	$\scriptstyle u_{i}=u_{iM}+u_{iT}=aB_{0}\left({\frac {b}{T}}-v\right)$	$\scriptstyle u'_{i}=u'_{iM}+u'_{iT}=aB_{0}\left({\frac {b}{T}}-v\right)$	$\scriptstyle u''_{i}=u''_{iM}+u''_{iT}=aB_{0}\left({\frac {b}{T}}-v\right)$
Ortskoordinate in Leitermitte	$\scriptstyle x_{m}=vt+{\frac {b}{2}}$	$\scriptstyle x'_{m}={\frac {b}{2}}$	$\scriptstyle x''_{m}=\left(v-{\frac {b}{T}}\right)t+{\frac {b}{2}}$
Induzierte Spannung nach Flussregel	$\scriptstyle u_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}B_{0}\left({\frac {vt+{\frac {b}{2}}}{b}}-{\frac {t}{T}}\right)ab$	$\scriptstyle u'_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}B_{0}\left({\frac {{\frac {b}{2}}+vt}{b}}-{\frac {t}{T}}\right)ab$	$\scriptstyle u''_{i}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}B_{0}{\frac {\left(v-{\frac {b}{T}}\right)t+{\frac {b}{2}}}{b}}ab$
Induzierte Spannung nach Flussregel	$\scriptstyle u_{i}=aB_{0}\left({\frac {b}{T}}-v\right)$	$\scriptstyle u''_{i}=aB_{0}\left({\frac {b}{T}}-v\right)$	$\scriptstyle u''_{i}=aB_{0}\left({\frac {b}{T}}-v\right)$

Literatur

• F. Emde: Das Induktionsgesetz, Elektrotechnik und Maschinenbau, XXVI. Jahrg. (1908), Heft 46, S. 997 - 1001, Heft 47, S.1023 -1025, Heft 49, S. 1074 - 1076, Heft 51, S.1119 - 1121. 
• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Addison Wesley (1969), p. 17-1, 17-2. 
• H. Haase, H. Garbe, H. Gerth: Grundlagen der Elektrotechnik, Schöneworth (2009), S. 214 - 225.