Lorentzkraft

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Das Fadenstrahlrohr demonstriert die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen (Elektronen).
Der Leiterschaukelversuch zeigt die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die eine bewegte Ladung in einem magnetischen oder elektrischen Feld erfährt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt.

Die magnetische Komponente der Kraft ist am größten, wenn die Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht zu den magnetischen Feldlinien verläuft, und gleich Null, wenn die Ladung sich entlang einer Feldlinie bewegt. Sie wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und zu den Magnetfeldlinien. Ihre Wirkungsrichtung kann mit der 3-Finger-Regel bestimmt werden. Für negative Ladungen verwendet man die linke, für positive Ladungen die rechte Hand.

Eine Erklärung der Lorentzkraft, die letztlich auf die elektrostatische Anziehung zurückgeführt wird, liefert die Spezielle Relativitätstheorie.

Doppeldeutige Bezeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bezeichnung „Lorentzkraft“ wird nicht einheitlich verwendet. Ältere Lehrwerke[1] unterscheiden meist zwischen der Lorentzkraft im engeren Sinne und der Coulombkraft . Erstere wird von magnetischen Feldern auf bewegte Ladungen ausgeübt, letztere von elektrischen Feldern auf bewegte oder unbewegte Ladungen. Die neuere Literatur fasst beide Kräfte meist als magnetische Komponente und elektrische Komponente der Gesamtkraft , der Lorentzkraft im weiteren Sinne, auf.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a) Lorentzkraft bei Bewegung negativer bzw. positiver Ladungsträger
b) Störung des magnetischen Feldes durch die bewegten Ladungsträger

Bewegt sich eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit durch ein elektromagnetisches Feld, ist die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorentzkraft im weiteren Sinne:

und sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne, die elektrische Feldstärke, die magnetische Flussdichte und das Zeichen das des Vektor- oder Kreuzprodukts der beteiligten Vektoren.

Der resultierende Vektor eines Kreuzprodukts steht stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist gleich 0. Daraus ergibt sich für den Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds ():

  • Bei der Ablenkung eines Teilchens der Ladung im räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld wird im Gegensatz zur Ablenkung im elektrischen Feld keinerlei Arbeit verrichtet, die kinetische Energie und damit die Bahngeschwindigkeit bleiben also unverändert, denn
.
Dies gilt auch für relativistische Teilchen. Tatsächlich jedoch emittieren die Teilchen wegen ihrer Ablenkung Bremsstrahlung und geben dadurch Energie ab.
  • Verlaufen die Vektoren und parallel oder antiparallel zueinander, wird gleich 0. Bewegt sich eine Ladung in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet also keinerlei Ablenkung statt.

Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als Lorentzkraft im engeren Sinne allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft , gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:

Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne wird dann als Coulombkraft bezeichnet und wie folgt berechnet:

Die Formelzeichen und bzw. und bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine oder die andere Konvention beibehalten sollte.

Formulierung der Lorentzkraft im cgs-System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Unterschied zu der obigen Schreibweise der Formel für die Lorentzkraft , die auf dem in der Elektrotechnik und den experimentellen Naturwissenschaften üblichen Internationalen Maßsystem basiert, schreibt man in der theoretischen Physik, und allgemeiner besonders in England und den USA, für dieselbe Kraft in den äquivalenten, aber leicht verschiedenen cgs-Einheiten:

,

wobei die Größen und den entsprechenden SI-Größen weitgehend äquivalent sind, man sie also der Einfachheit halber meist ohne spezielle Indizes ebenfalls als und bezeichnet. Genau genommen aber gilt

mit der dimensionsbehafteten Dielektrizitätskonstanten im Vakuum (für die systematische Umrechnung von Größen in SI-Einheiten ins cgs-System und umgekehrt siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel über die Maxwellschen Gleichungen).

Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bewegung einer Punktladung q in einem senkrecht zu ihrer Bahn (in diesem Fall aus der Zeichenebene heraus) verlaufenden Magnetfeld: Negative Ladungen (q < 0) werden dabei im Bild nach oben, positive (q > 0) nach unten und neutrale (q = 0) überhaupt nicht abgelenkt.

Als bewegte Punktladungen werden kleine freie Ladungen wie etwa Elektronen, Protonen oder andere geladene Elementarteilchen, z. B. α-Teilchen, aber auch Ionen betrachtet, die sich frei im Raum, z. B. im Vakuum oder in einer Salzlösung, bewegen können.

Da die Richtung der Lorentzkraft vom Vorzeichen der Ladung q abhängt, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen gleicher Bewegungsrichtung in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z. B. in einer Salzlösung, an die man eine elektrische Spannung gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder dieselbe[2] (siehe nebenstehende Abbildungen).

Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei aus

zu

mit als dem Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von q und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte .

Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt , also:

Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Stromwaage misst die Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter.

Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied zwischen Elektrizität und Mechanik. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds liegt, dann lässt sich eine Kraftwirkung auf den Leiter feststellen. Die Auslenkung im Leiterschaukelversuch oder die Messungen beim Stromwaagen-Experiment verdeutlichen dies. Die Kraftwirkung leitet sich dabei aus der auf eine bewegte Punktladung wirkenden Lorentzkraft her; diese wirkt auf die einzelnen Ladungsträger im Leiter.

Lorentzkraft am Leiterstück

Um die genannten Vorgänge rechnerisch zu erfassen, werde der Einfachheit halber zunächst ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge betrachtet, das in einem zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfeld der Flussdichte liegt. Durch den Draht fließe ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke , sodass seine Leitungselektronen sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit die Gesamtladung

mit der Geschwindigkeit

transportieren. Wegen ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit auf das Drahtstück als Ganzes

Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann

mit als dem Winkel zwischen der Längsrichtung des Drahtes und der Richtung der magnetischen Flussdichte .

Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, ist und die Gleichung vereinfacht sich zu

Für gekrümmte Leiter muss die Kraftwirkung durch Integration berechnet werden, indem das Magnetfeld nur für infinitesimal kleine Stücke des Leiters als konstant angesehen wird. Damit ergibt sich folgende Formel:

Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verknüpft man die Formel für die Lorentzkraft auf stromdurchflossene Leiter mit dem Biot-Savart-Gesetz für das Magnetfeld um stromdurchflossene Leiter, so ergibt sich eine Formel für die Kraft, die zwei stromdurchflossene dünne Leiter aufeinander ausüben, was in der Literatur auch als ampèresches Kraftgesetz (nicht zu verwechseln mit dem ampèreschen Gesetz) bezeichnet wird.[3]

Wenn die beiden Leiter dünn sind und einander parallel gegenüberliegen wie die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks, dann ergibt sich die schon von der Ampère-Definition her bekannte einfache Formel für den Kraftbetrag der aufeinander wirkenden (nach dem Wechselwirkungsprinzip gleich großen) Kräfte:

Dabei ist die (bei beiden Leitern gleich große) Länge der Leiter, ihr gegenseitiger Abstand und sind die Stromstärken in den beiden Leitern.

Elektromagnetische Induktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lorentzkraft und Induktion

Des Weiteren erklärt die Lorentzkraft die Umwandlung mechanischer Bewegung in elektrische Spannung. Dabei ergibt sich mittels der Lorentzkraft eine alternative Herleitung der elektromagnetischen Induktion statt über die Flussänderung.[4] Der Einfachheit halber sei wieder ein gerades Stück Draht der Länge betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit quer durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf steht.

Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft , die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:

Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung und skalare Multiplikation mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung :

Sind die drei Vektoren, wie eingangs verlangt, paarweise senkrecht zueinander, vereinfacht sich das Spatprodukt l·(v×B), sodass sich die bekannte Formel

ergibt (siehe dazu auch den Artikel Leiterschaukel).

Lenzsche Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stromkreis demonstriert Lenzsche Regel.
Lorentzkraft erklärt Lenzsche Regel.

Überbrückt man nun beide Enden des bewegten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dagegen nicht gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, sodass diese und das Produkt also gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel die Summe 0 liefern:

Der durch den geschlossenen Stromkreis fließende Strom erzeugt nun wieder eine Lorentzkraft, die der Bewegungsrichtung entgegenwirkt. Die Lorentzkraft erklärt somit nicht nur die Ladungstrennung, mit der die Induktionsspannung entsteht, sondern zudem die Gegenkraft, die Teil der Lenzschen Regel ist.[5]

In gleicher Weise erzeugen Generatoren Spannung und lassen Ströme fließen, wodurch sie mechanische in elektrische Leistung umformen. Beim Elektromotor sind Spannung und Strom so gerichtet, dass er elektrische Leistung aufnimmt und als verrichtete Arbeit abgibt.

Wirkungsprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lorentzkraft ergibt sich in der lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung und der Masse aus der Lagrangefunktion

.

Hierbei sind und das skalare Potential und das Vektorpotential, die zu der elektrischen Feldstärke

und der magnetischen Flussdichte

gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

.

Die Auswertung der in den Nabla-Operatoren vorkommenden partiellen Ableitungen liefert:

Dabei ist der erste Term in den runden Klammern der (kinetische) Impuls (während der gesamte Ausdruck in den ersten runden Klammern den generalisierten Impuls beschreibt) eines sich mit der Geschwindigkeit bewegenden Teilchens:

Die totale zeitliche Ableitung des Vektorpotentials, das explizit von der Zeit und von allen Ortskoordinaten abhängig ist, lautet unter Benutzung der Vektorrelation :

Eingesetzt ergibt sich:

Somit erhält man die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von E und B:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition der Maßeinheit Ampere[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kraftwirkung auf zwei gerade benachbarte Leiter

Die Lorentzkraft ist seit 1948 Grundlage der bis heute international gültigen Definition der SI-Basiseinheit Ampere:

Ein Ampere ist „die Stärke eines zeitlich unbegrenzt unveränderlichen elektrischen Stroms, der durch zwei parallel im Abstand von 1 m im Vakuum angeordnete geradlinige, unendlich lange Leiter mit vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, elektrodynamisch die Kraft von  N je m Leiterlänge zwischen diesen Leitern hervorrufen würde.“

Der Betrag der Kraft ergibt sich nach dem Ampèreschen Kraftgesetz für zwei gerade, benachbarte und dünne Linienleiter. Bei zwei Leitern, die jeweils vom Strom bzw. mit einem gegenseitigen Abstand durchflossen werden, beträgt die längenbezogene magnetische Lorentzkraft :

Bei einem Leiterabstand und einen Strom von ergibt sich pro Meter Leiterlänge die Kraft von aus obiger Definition.

Technische Anwendungen der Lorentzkraft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lorentzkräfte in der Natur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-25421-8.
  2. Vladimir Dyakonov: Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde, Sommersemester 2007. Abschnitt Erinnerung: Rotierender Elektrolyt. (PDF; 317 kB).
  3. Der deutschsprachige Ausdruck „Ampère’sches Kraftgesetz“ kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor, siehe z. B. Elektrodynamik (Dietmar Petrascheck, Franz Schwabl, Springer, 2. Auflage (2014)) oder Das Ampere’sche Gesetz (Skript auf der Webseite der Humboldt-Universität zu Berlin), allerdings vergleichsweise selten, denn eine Google-Suche nach dem Begriff ergab z. B. nur 58 Treffer. Das englische Pendant „Ampère’s force law“ dagegen ist viel gebräuchlicher, der Ausdruck liefert über 2000 Treffer und hat einen eigenen (englischen) Wikipedia-Artikel. Jeweils abgerufen am 19. Mai 2016.
  4. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1164-5, S. 907 ff.
  5. Grüninger, Landesbildungsserver: Die lenzsche Regel. 2011, abgerufen am 18. Dezember 2013.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Lorentzkraft – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Lorentz-Kraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen