Benutzer:Kronf/Differenzmenge

∖

$A$ ohne $B$

Die Differenz ist eine Operation der Mengenlehre. Ihr Resultat wird Differenzmenge oder Restmenge genannt. Man spricht „A ohne B“.

Seien A und B zwei Mengen, so ist die Differenzmenge von A und B jene Teilmenge von A, die kein Element von B enthält.

In formaler Schreibweise:

$A\setminus B:=\{x\mid x\in A\land x\not \in B\}.$

• Beispiele

• $\left\{1,2,3\right\}\setminus \left\{2,3,4\right\}=\left\{1\right\}$
• $\left\{2,3,4\right\}\setminus \left\{1,2,3\right\}=\left\{4\right\}$
• Für $\mathbb {R}$ (reelle Zahlen) und $\mathbb {Q}$ (rationale Zahlen), ist $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ die Menge der irrationalen Zahlen.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Zusammenhänge der Differenz zu den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet.

Seien A, B und C Mengen. Dann gelten folgende Identitäten:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
• $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
• $A\setminus A=\emptyset$
• $\emptyset \setminus A=\emptyset$
• $A\setminus \emptyset =A$

Relatives Komplement

...

Ein Sonderfall der Differenz ist das relative Komplement, bei welchem gilt $B\subset A$, also B eine Teilmenge von A darstellt.