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Schallgeschwindigkeit und Thermodynamik

Die Schallgeschwindigkeit spielt eine besondere Rolle in der Thermodynamik, insbesondere bei Druckentlastungseinrichtungen, wo sie die maximal erreichbare Geschwindigkeit definiert. Dadurch, dass sie mit extremer Genauigkeit gemessen werden kann, spielt sie eine große Rolle bei der Aufstellung hochgenauer Zustandsgleichungen und bei der indirekten Messung der Wärmekapazität eines idealen Gases. Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit ist

$c^{2}=-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{s}$

mit v als dem spez. Volumen, dem Kehrwert der Dichte (v = 1/ρ). Der Index s beim Differentialquotienten bedeutet "bei konstanter Entropie" (isentrop). Für das ideale Gas ergibt sich daraus wie oben angeführt

$c_{id}={\sqrt {\kappa RT}}$

mit

$\kappa ={\frac {c_{p}^{id}}{c_{v}^{id}}}$

als dem Verhältnis der isobaren und der isochoren spez. Wärmekapazitäten und R als der speziellen Gaskonstante (massebezogen). Die gebräuchlichen thermischen Zustandsgleichungen haben die Form p = f (T ,v ) . Es folgt nach einigen Umformungen

$c^{2}=v^{2}\left[{\frac {T}{c_{v}}}\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{v}^{2}-\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}\right]$

mit der realen spez. isochoren Wärmekapazität

$c_{v}=c_{v}^{id}+T\int _{\infty }^{v}\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial T^{2}}}\right)_{v}dv$

Bild 1: Schallgeschwindigkeit von Ethylen bei 100°C als Funktion des Druckes

Bild 2: Massenstromdichte eines Gasstroms als Funktion des Austrittsdruckes

Bild 3: Form einer Lavaldüse

Bild 4: Lavaldüse am Triebwerksmodell der Saturn-V-Rakete in Cape Canaveral

Mit diesen Beziehungen kann man bei Kenntnis einer thermischen Zustandsgleichung den Druckeinfluss auf die Schallgeschwindigkeit berücksichtigen. Bild 1 zeigt die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Druck bei Ethylen für eine Temperatur von 100°C.

Die Schallgeschwindigkeit hat besonders durch ihre leichte experimentelle Zugänglichkeit Bedeutung erlangt. Die direkt kaum messbare spezifische Wärmekapazizät idealer Gase ist mit der Schallgeschwindigkeit des idealen Gases verknüpft:

$c_{p}^{id}={\frac {Rc^{2}}{c^{2}-RT}}$

Ebenso kann die Gaskonstante mit Schallgeschwindigkeitsmessungen sehr genau ermittelt werden. Für einatomige Edelgase (He, Ne, Ar) ist $c_{p}^{id}=2.5R$, unabhängig von der Temperatur. Dann folgt

$R={\frac {3}{5}}{\frac {c^{2}}{T}}$

Da c und T sehr exakt gemessen werden können, ist dies eine extrem genaue Methode, die Gaskonstante zu bestimmen. Die Schallgeschwindigkeit ist maßgeblich bei der Druckentlastung von Gasen über ein Ventil oder eine Blende. Abhängig vom Zustand in dem zu entlastenden Behälter gibt es eine maximale Massenstromdichte im engsten Querschnitt des Ventils, die nicht überschritten werden kann, auch wenn der Druck jenseits des Ventils noch weiter abgesenkt wird (Bild 2). Im engsten Querschnitt stellt sich dann die Schallgeschwindigkeit des Gases ein. Bei idealen Gasen ist dies näherungsweise dann der Fall, wenn der Austrittsdruck kleiner ist als die Hälfte des Behälterdrucks. Die max. Massenstromdichte gilt auch dann, wenn ein Gas durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt strömt. Die Schallgeschwindigkeit kann dann nicht überschritten werden, was ebenfalls von erheblicher sicherheitstechnischer Bedeutung für die Auslegung von Druckentlastungseinrichtungen ist. Für eine Beschleunigung eines Gases über die Schallgeschwindigkeit hinaus benötigt man speziell geformte Strömungskanäle, die sich nach einem engsten Querschnitt definiert erweitern, sog. Lavaldüsen (Bild 3). Ein Beispiel dafür sind die Austrittsdüsen von Raketentriebwerken (Bild 4).