Benutzer:Wiasazubis/Artikelentwurf

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Explizite Ermittlung der Summe der Potenzen $S_{k}(n)=\sum _{i=1}^{n}i^{k}$

Explizite Darstellungen

Die Summe der Potenzen lässt sich mit Hilfe von

$S_{k}(n)=\sum _{i=1}^{n}i^{k}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}j^{k-1}$  $(1)$

für alle $k\in \mathbb {N}$ berechnen.

Mit der Identität   $\sum _{j=i}^{n}j^{k-1}=\sum _{j=1}^{n}j^{k-1}-\sum _{j=1}^{i-1}j^{k-1}$   lässt sich $(1)$ in

$S_{k}(n)=\sum _{i=1}^{n}{(\sum _{j=1}^{n}j^{k-1}-\sum _{j=1}^{i-1}j^{k-1})}$  $(2)$

umformen. Während sich   $(1)$   nur für   $k=1,2$   direkt auswerten lässt,

zum Beispiel für $k=2$ mit $\sum _{j=i}^{n}j={\frac {(n+i)(n-i+1)}{2}}$,

gilt $(2)$ für alle   $k\in \mathbb {N}$.

Herleitung:

Mit dem Ansatz   $i^{k}=i^{k-1}\cdot \sum _{i=1}^{k}1$   wird die folgende Tabelle aufgestellt.

Beispiel: $k=2;$    $1^{2}=1\cdot (1);$    $2^{2}=2\cdot (1+1)=2+2;$    $3^{2}=3\cdot (1+1+1)=3+3+3;$    $...$

$i^{k}$	$1^{k}$	$2^{k}$	$3^{k}$	$4^{k}$	$...$	$n^{k}$	$\sum _{i=1}^{n}i^{k}$
Senkrecht werden die	$1^{k-1}$	$2^{k-1}$	$3^{k-1}$	$4^{k-1}$	$...$	$n^{k-1}$	$\sum _{i=1}^{n}i^{k-1}$
$i^{k-1}\cdot \sum _{1}^{i}1$ aufgeschrieben,		$+2^{k-1}$	$+3^{k-1}$	$+4^{k-1}$		$+n^{k-1}$	$+\sum _{i=2}^{n}i^{k-1}$
waagerecht wird summiert.			$+3^{k-1}$	$+4^{k-1}$		$+n^{k-1}$	$+\sum _{i=3}^{n}i^{k-1}$
				$+4^{k-1}$		$+n^{k-1}$	$+\sum _{i=4}^{n}i^{k-1}$
						$...$	$...$
						$+n^{k-1}$	$+\sum _{i=n}^{n}i^{k-1}$
							$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}j^{k-1}$

Für $k=1$ ergibt sich die Gaußsche Summenformel:

$\sum _{1}^{n}i^{1}=\sum _{1}^{n}{\Biggl [}\sum _{1}^{n}i^{0}-\sum _{1}^{i-1}j^{0}{\Biggr ]}$          $i^{0}=j^{0}=1$,    denn    $1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}$    für    $a$ ≠  $0$

$\sum _{1}^{n}i=\sum _{1}^{n}{\Bigl [}\sum _{1}^{n}1-\sum _{1}^{i-1}1{\Bigr ]}$

$\sum _{1}^{n}i=\sum _{1}^{n}\lbrack n-(i-1)\rbrack =\sum _{1}^{n}n-\sum _{1}^{n}i+\sum _{1}^{n}1$      $|+\sum _{1}^{n}i$

$2\sum _{1}^{n}i=\sum _{1}^{n}n+\sum _{1}^{n}1=n^{2}+n$

$\sum _{1}^{n}i={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n$

Rekursion

Ausgangspunkt ist die Summe      $\sum _{1}^{n}i={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n$.

Daraus lässt sich jede weitere, nächst höhere Potenz berechnen, wie für die ersten Summen der Potenzen deutlich wird:

${\frac {3}{2}}\sum _{1}^{n}i^{2}=(n+{\frac {1}{2}})\sum _{1}^{n}i$	⇒      $\sum _{1}^{n}i^{2}$      $=$      ${\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n$
${\frac {4}{3}}\sum _{1}^{n}i^{3}=(n+{\frac {1}{2}})\sum _{1}^{n}i^{2}-{\frac {1}{6}}\sum _{1}^{n}i$	⇒      $\sum _{1}^{n}i^{3}$      $=$      ${\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}$
${\frac {5}{4}}\sum _{1}^{n}i^{4}=(n+{\frac {1}{2}})\sum _{1}^{n}i^{3}-{\frac {1}{4}}\sum _{1}^{n}i^{2}$	⇒      $\sum _{1}^{n}i^{4}$      $=$      ${\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n$
${\frac {6}{5}}\sum _{1}^{n}i^{5}=(n+{\frac {1}{2}})\sum _{1}^{n}i^{4}-{\frac {1}{3}}\sum _{1}^{n}i^{3}+{\frac {1}{30}}\sum _{1}^{n}i$	⇒      $\sum _{1}^{n}i^{5}$      $=$      ${\frac {1}{6}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}$

$S_{k}=\sum _{1}^{n}i^{k}=a_{k+1}\cdot n^{k+1}+a_{k}\cdot n^{k}+a_{k-1}\cdot n^{k-1}+...+a_{1}\cdot n^{1}$

Die jeweils nächste Summe setzt sich folgendermaßen zusammen:

${\frac {k+1}{k}}\sum _{1}^{n}i^{k}=(n+{\frac {1}{2}})\cdot \sum _{1}^{n}i^{k-1}-\sum _{l=2}^{k-1}{\Bigl (}b_{k-l}\cdot \sum _{1}^{n}i^{k-l}{\Bigr )}$

${\frac {k+1}{k}}\sum _{1}^{n}i^{k}=(n+{\frac {1}{2}})\cdot \sum _{1}^{n}i^{k-1}-b_{k-2}\cdot \sum _{1}^{n}i^{k-2}-b_{k-3}\cdot \sum _{1}^{n}i^{k-3}-...-b_{1}\cdot \sum _{1}^{n}i^{1}$

Es gilt $\forall ~j>2~b_{j}=a_{j}$.

Setzt man für $\sum i^{k-x}$ rekursiv Werte ein und löst nach $\sum i^{k}$ auf, erhält man das Ergebnis.

Berechnungen

Beispielberechnung für $S_{13}$:

$S_{12}={\frac {1}{13}}n^{13}+{\frac {1}{2}}n^{12}+n^{11}-{\frac {11}{6}}n^{9}+{\frac {22}{7}}n^{7}-{\frac {33}{10}}n^{5}+{\frac {5}{3}}n^{3}-{\frac {691}{2730}}n$

⇒    ${\frac {14}{13}}S_{13}=(n+{\frac {1}{2}})S_{12}-S_{11}+{\frac {11}{6}}S_{9}-{\frac {22}{7}}S_{7}+{\frac {33}{10}}S_{5}-{\frac {5}{3}}S_{3}+{\frac {691}{2730}}S_{1}$

${\frac {14}{13}}\cdot S_{13}$

$n^{14}$

$n^{13}$

$n^{12}$

$n^{11}$

$n^{10}$

$n^{9}$

$n^{8}$

$n^{7}$

$n^{6}$

$n^{5}$

$n^{4}$

$n^{3}$

$n^{2}$

$n$

${\color {red}n}\cdot S_{12}$

${\frac {1}{13}}$

${\frac {1}{2}}$

$1$

$-{\frac {11}{6}}$

${\frac {22}{7}}$

$-{\frac {33}{10}}$

${\frac {5}{3}}$

$-{\frac {691}{2730}}$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot S_{12}$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {1}{13}}$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot 1$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot (-{\frac {11}{6}})$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {22}{7}}$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot (-{\frac {33}{10}})$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {5}{3}}$

${\color {Red}{\frac {1}{2}}}\cdot (-{\frac {691}{2730}})$

${\color {Red}-1}\cdot S_{11}$

${\color {Red}(-1)}\cdot {\frac {1}{12}}$

${\color {Red}(-1)}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}(-1)}\cdot (-{\frac {11}{12}})$

${\color {Red}(-1)}\cdot -({\frac {11}{8}})$

${\color {Red}(-1)}\cdot {\frac {11}{6}}$

${\color {Red}(-1)}\cdot (-{\frac {11}{8}})$

${\color {Red}(-1)}\cdot {\frac {5}{12}}$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot S_{9}$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot {\frac {1}{10}}$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot {\frac {3}{4}}$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot (-{\frac {7}{10}})$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}{\frac {11}{6}}}\cdot (-{\frac {3}{20}})$

${\color {Red}(-{\frac {22}{7}})}\cdot S_{7}$

${\color {Red}(-{\frac {22}{7}})}\cdot {\frac {1}{8}}$

${\color {Red}(-{\frac {22}{7}})}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}(-{\frac {22}{7}})}\cdot {\frac {7}{12}}$

${\color {Red}(-{\frac {22}{7}})}\cdot (-{\frac {7}{24}})$

${\color {Red}(-{\frac {22}{7}})}\cdot {\frac {1}{12}}$

${\color {Red}{\frac {33}{10}}}\cdot S_{5}$

${\color {Red}{\frac {33}{10}}}\cdot {\frac {1}{6}}$

${\color {Red}{\frac {33}{10}}}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}{\frac {33}{10}}}\cdot {\frac {5}{12}}$

${\color {Red}{\frac {33}{10}}}\cdot (-{\frac {1}{12}})$

${\color {Red}(-{\frac {5}{3}})}\cdot S_{3}$

${\color {Red}(-{\frac {5}{3}})}\cdot {\frac {1}{4}}$

${\color {Red}(-{\frac {5}{3}})}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}(-{\frac {5}{3}})}\cdot {\frac {1}{4}}$

${\color {Red}{\frac {691}{2730}}}\cdot S_{1}$

${\color {Red}{\frac {691}{2730}}}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\color {Red}{\frac {691}{2730}}}\cdot {\frac {1}{2}}$

${\frac {14}{13}}\cdot S_{13}$

${\frac {1}{13}}$

${\frac {7}{13}}$

${\frac {7}{6}}$

$-{\frac {77}{30}}$

${\frac {11}{2}}$

$-{\frac {77}{10}}$

${\frac {35}{6}}$

$-{\frac {691}{390}}$

$S_{13}$

${\frac {1}{14}}$

${\frac {1}{2}}$

${\frac {13}{12}}$

$-{\frac {143}{60}}$

${\frac {143}{28}}$

$-{\frac {143}{20}}$

${\frac {65}{12}}$

$-{\frac {691}{420}}$

⇒    $S_{13}={\frac {1}{14}}n^{14}+{\frac {1}{2}}n^{13}+{\frac {13}{12}}n^{12}-{\frac {143}{60}}n^{10}+{\frac {143}{28}}n^{8}-{\frac {143}{20}}n^{6}+{\frac {65}{12}}n^{4}-{\frac {691}{420}}n^{2}$

Probe:    ${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {13}{12}}-{\frac {143}{60}}+{\frac {143}{28}}-{\frac {143}{20}}+{\frac {65}{12}}-{\frac {691}{420}}=1$

(siehe Satz von ?)

Siehe auch

• Faulhabersche Formel